Lineární algebra

9.2. Příklad. V příkladech 1.24 a 2.24 jsme zavedli lineární prostor vázaných vektorů UO tak, že jsme
zvolili jeden bod prostoru E3 a označili jej O. Na množině všech orientovaných úseček začínajících
v bodě O jsme definovali sčítání (doplněním na rovnoběžník) a násobení konstantou (násobením veli-
kosti úsečky). V příkladě 1.24 jsme ukázali, že množina takových úseček tvoří lineární prostor podle
obecné definice lineárního prostoru a v příkladě 2.24 jsme naznačili, jak souvisí pojmy lineární závislost
a nezávislost vektorů s geometrickými vlastnostmi lineárního prostoru UO.

Zopakujeme nyní hlavní výsledky těchto příkladů a přidáme další poznatky. Nulový vektor o ∈ UO je

úsečka s nulovou velikostí, tj. koncový bod splývá s počátečním bodem. Jeden vektor u ∈ UO je lineárně
nezávislý právě tehdy, když je nenulový. Dva vektory {u, v} ⊂ UO jsou lineárně nezávislé právě tehdy,
když neleží ve společné přímce. Tři vektory {u, v, w} ⊂ UO jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když
neleží ve společné rovině. Čtyři vektory z UO jsou vždy lineárně závislé. Z toho plyne, že dim UO = 3 a
bázi UO tvoří libovolné tři vektory, které neleží ve společné rovině.

Je-li u ∈ UO nenulový, pak hui je množina vektorů, jejichž koncové body vyplňují přímku procháze-

jící bodem O. Jsou-li {u, v} ⊂ UO lineárně nezávislé, pak hu, vi je množina vektorů, jejichž koncové body
vyplňují rovinu procházející bodem O. Jsou-li konečně tři vektory {u, v, w} ⊂ UO lineárně nezávislé, pak
koncové body vektorů z hu, v, wi vyplňují celý prostor E3.

Souřadnice
orientova-
ných úseček

Je-li B = {b1, b2, b3} ⊂ UO lineárně nezávislá množina, pak tvoří bázi UO a pro každý vektor u ∈ UO