Lineární algebra

Nechť u a v jsou nenulové orientované úsečky začínající ve společném bodě O. Nechť p je přímka,

která obsahuje úsečku v. Pomocí pravítka s ryskou sestrojíme kolmici na přímku p, která prochází
koncovým bodem úsečky u. Průsečík přímky p a sestrojené kolmice označme P . Nyní definujeme

u · v = ±kvk · velikost úsečky OP ,

kde místo znaku „±ÿ použijeme znaménko „+ÿ, je-li úsečka OP shodně orientovaná s úsečkou v, a
použijeme znaménko „−ÿ, jsou-li tyto úsečky opačně orientované.

Uvědomíme si, že úsečka OP je kolmým průmětem úsečky u na přímku p, velikost tohoto průmětu

je podle kosinové věty rovna (až na znaménko) číslu kuk cos ϕ, kde ϕ je úhel mezi úsečkami u a v. Vidíme
tedy, že je definice skalárního součinu shodná s definicí podle vzorce (9.1).

Kolmý prů-
mět vektoru
na vektor

Kolmý průmět vektoru u na nenulový vektor v je názorná geometrická aplikace skalárního součinu a

má obecnou platnost i v lineárních prostorech s větší dimenzí. Stojí za to tento pojem formálně definovat
pro libovolný lineární prostor se skalárním součinem:

9.6. Definice. Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem, u ∈ L, v ∈ L, v 6= o. Pak vektor

u · v
kvk2

v

nazýváme kolmý průmět vektoru u na vektor v.

Číslo (u · v) / kvk je velikost kolmého průmětu vektoru u na vektor v „až na znaménkoÿ. Toto číslo

je záporné právě tehdy, když kolmý průmět na vektor v má opačný směr než vektor v.

Ortonor-
mální báze
v UO

9.7. Příklad. Nechť UO je lineární prostor se skalárním součinem z příkladu 9.3. Sestrojíme dvě orien-
tované úsečky začínající v bodě O s velikostí 1, které jsou na sebe kolmé (ověříme úhloměrem). Tyto dvě
úsečky leží v jednoznačně určené rovině %. Sestrojíme třetí úsečku velikosti 1, která začíná v bodě O a
je kolmá na rovinu %. Tyto tři úsečky označíme i, j, k. Je zřejmé, že B = {i, j, k} je ortonormální bází
lineárního prostoru UO.