Lineární algebra

(1)

u · v = kuk kvk cos ϕ = kvk kuk cos ϕ = v · u,

(2)

(u + v) · w

?

= u · w + v · w

(vysvětlíme později),

(3)

(α u) · v = kα uk kvk cos ϕ =

 αkuk kvk cos ϕ = α (u · v),

pro α ≥ 0,

−αkuk kvk cos(ϕ + π) = αkuk kvk cos ϕ = α (u · v),

pro α < 0,

(4)

u · u = kuk

2 cos 0 = kuk2 ≥ 0.

90

Lineární algebra

9. Aplikace lineární algebry v geometrii

Předpokládejme ještě u · u = kuk2 = 0. Z toho plyne, že velikost úsečky u je nulová, takže nutně musí
být u = o.

Zbývá nám dokázat vlastnost (2). Jsou-li některé z úseček nulové, je tvrzení (2) okamžitě splněno.

Nechť jsou tedy všechny tři úsečky nenulové. Nechť dále ϕ1 je úhel mezi u a w. Označme p1 = kuk cos ϕ1
velikost kolmého průmětu úsečky u na úsečku w. Ze vzorce (9.1) vidíme, že p1 = u · w/kwk. Označme
ještě p2 velikost kolmého průmětu úsečky v na úsečku w a konečně p0 velikost kolmého průmětu součtu
u + v na úsečku w. Z geometrických vlastností rovnoběžníků a průmětů plyne, že p0 = p1 + p2 (udělejte
si náčrtek). Protože platí

p1 =

u · w

kwk

,

p2 =

v · w

kwk

,

p0 =

(u + v) · w

kwk

,

je po vynásobení rovnosti p0 = p1 + p2 číslem kwk požadovaná rovnost (2) dokázána.

9.4. Poznámka. Při ověřování vlastnosti (4) jsme mimochodem zjistili, že velikost úsečky odvozená ze
skalárního součinu (definice 8.17) je rovna velikosti úsečky zjištěné měřítkem. Úhel mezi úsečkami podle
definice 8.20 je také roven skutečnému úhlu mezi úsečkami. To plyne přímo ze vzorce (9.1).

9.5. Poznámka. K definování skalárního součinu na lineárním prostoru orientovaných úšeček jsme
v předchozím příkladu použili kromě měřítka ještě úhloměr a nějaký stroj, který nám vyhodnotí funkci
kosinus. Ukážeme, že lze modifikovat definici tak, že místo úhloměru a stroje na kosinus si vystačíme jen
s pravítkem s ryskou (na sestrojování kolmic).