Lineární algebra

9.8. Poznámka. Souřadnice vektoru u ∈ UO vzhledem k ortonormální bázi B = {i, j, k} jsou podle
věty 8.36 a definice 9.6 velikostmi (až na znaménko) kolmých průmětů vektoru u na vektory i, j, k. To
nám umožňuje velmi snadno najít souřadnice geometrickými prostředky a dále se souřadnicemi (uspo-
řádanými trojicemi v R3) pracovat numericky.

91

Lineární algebra

9. Aplikace lineární algebry v geometrii

9.9. Příklad. Nechť B = {i, j, k} je báze z příkladu 9.7. Uspořádejme tuto bázi, tj. záleží nám na
pořadí prvků i, j, k. Vidíme, že jakákoli jiná uspořádaná ortonormální báze vzniká současným otočením
úseček i, j, k kolem bodu O nebo současným otočením úseček i, j, −k kolem bodu O. Přechod mezi bází
(B) = i, j, k

 a (B0) = i, j, −k nelze realizovat současným otočením všech úseček.

Dá se ukázat, že pokud báze C vzniká z báze B otočením úseček kolem bodu O, má matice přechodu

A(B,C) kladný determinant. Dále matice přechodu od báze B k bázi B

0 vypadá takto

A(B,B0) =

1

0

0

0

1

0

0

0 −1

.

Je tedy det A(B,B0) = −1. To nás vede k následující definici kladně orientované báze.

Kladně ori-
entovaná
báze

9.10. Definice. Nechť UO je lineární prostor se skalárním součinem podle příkladu 9.3. Ortonormální
uspořádanou bázi (B) = i, j, k

 nazýváme kladně orientovanou, pokud při vhodném umístění a natočení

pozorovatele vzhledem k této bázi směřuje úsečka i směrem k pozorovateli, j vpravo od pozorovatele a
k nahoru.

Mnemotechnickou pomůckou je tzv. pravidlo pravé ruky. Přiložíme-li pravou ruku k vektorům i, j

tak, aby prsty směřovaly od i k j, potom palec naznačuje směr vektoru k.

Všechny báze (C) (ne nutně ortonormální), které mají matici přechodu od (B) k (C) s kladným