Lineární algebra

cos ϕi =

xi

kxk

.

Důkaz. Podle definice 8.20 je

cos ϕi =

x · bi

kxk kbik

=

x · bi

kxk

=

xi

kxk

.

V úpravách jsme využili toho, že kbik = 1 (báze je ortonormální) a dále věty 8.36, podle které je xi = x·bi.

88

Lineární algebra

8. Lineární prostory se skalárním součinem

8.39. Poznámka. Protože je kxk2/kxk2 = 1 a dále je kxk2 = x2

1 + x

2

2 + · · · + x

2

n, plyne z věty 8.38

zajímavý důsledek:

cos

2 ϕ

1 + cos

2 ϕ

2 + · · · + cos

2 ϕ

n = 1,

kde ϕi jsou úhly mezi vektorem x a vektory ortonormální báze.

Ortogonali-
zační proces

8.40. Poznámka. Je přirozené se ptát, zda každý lineární prostor (aspoň konečné dimenze) má orto-
normální bázi. Věta 2.51 ukazuje, že každý lineární prostor má bázi. Následující věta ukazuje, že každá
konečná báze se dá v jistém smyslu pozměnit tak, aby se z ní stala ortonormální báze.

8.41. Věta (Schmidtův ortogonalizační proces). Nechť {b1, b2, . . . , bn} je báze lineárního prostoru L
se skalárním součinem. Pak existuje ortonormální báze {c1, c2, . . . , cn} taková, že

hb1, b2, . . . , bki = hc1, c2, . . . , cki,

∀k ∈ {1, 2, . . . , n}.

Důkaz. Nejprve vysvětlíme ideu důkazu, která je v tomto případě asi důležitější než podrobné počítání.
Vektor c1 volíme stejný jako b1 jen s tím rozdílem, že jej „normalizujemeÿ. To znamená, že jej násobíme
vhodnou konstantou, aby kc1k = 1.

Představme si dále, že už jsme našli c1, c2, . . . , ck takové, že hb1, b2, . . . , bki = hc1, c2, . . . , cki, a

přitom vektory c1, c2, . . . , ck jsou na sebe vzájemně kolmé a mají jednotkovou velikost. Vektor bk+1
nyní „ortogonalizujemeÿ, tj. upravíme tak, aby byl kolmý na všechny vektory z hc1, c2, . . . , cki. Ukážeme
později, že k tomu účelu stačí od vektoru bk+1 odečíst určitou lineární kombinaci vektorů c1, c2, . . . , ck.
Takto upravený vektor dále „normalizujemeÿ, tj. vynásobíme vhodnou konstantou, aby kck+1k = 1.
Tím se jeho kolmost vůči ostatním vektorům z hc1, c2, . . . , cki nepokazí. Protože vektor ck+1 vznikl jako
lineární kombinace vektorů c1, c2, . . . , ck, bk+1, je