Lineární algebra

(8.3)

Důkaz. Nechť α ∈ R. Násobme sám se sebou vektor x − α y. Podle vlastnosti (4) definice 8.2 je

0 ≤ (x − α y) · (x − α y) = x · x − α · 2(x · y) + α

2 · (y · y).

V úpravách jsme použili vlastnosti (2) a (3) definice 8.2. Označme A = y · y = kyk2, B = −2(x · y),
C = x · x = kxk2. Dostáváme

0 ≤ A α

2 + B α + C.

Tato nerovnost musí platit pro všechna α ∈ R. Diskriminant této kvadratické nerovnice tedy nesmí být
kladný. Z toho nám vyplývá podmínka pro čísla A, B, C:

B

2 − 4AC ≤ 0,

tj.

B

2 ≤ 4AC,

tj.

−2(x · y)

2 ≤ 4 kxk2kyk2,

tj.

(−2)

2 (x · y)2 ≤ 4 kxk2kyk2,

tj.

p

(x · y)2 ≤

pkxk2pkyk2 tj. |x · y| ≤ kxk · kyk.

Vzdálenost
vektorů

8.23. Definice. Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem. Vzdálenost vektoru x od vektoru y
definujeme jako ky − xk. Podle věty 8.19 je ky − xk = kx − yk, takže často mluvíme o vzdálenosti dvou
vektorů x a y (bez závislosti na jejich pořadí).

8.24. Věta (trojúhelníková nerovnost). Pro velikosti vektorů platí

kx + yk ≤ kxk + kyk.

(8.4)

Důkaz. kx + yk2 = (x + y) · (x + y) = x x + 2 x y + y y ≤ kxk2 + 2 kxk · kyk + kyk2 = kxk + kyk

2 .

Ve výpočtu jsme použili Schwartzovu nerovnost 8.22. Po odmocnění dostáváme dokazovanou nerovnost.

8.25. Poznámka. Vysvětlíme si, proč se dokázaná nerovnost nazývá trojúhelníková. Tu někteří čtenáři
znají geometricky formulovanou třeba takto: součet délek dvou stran v trojúhelníku je vždy větší než délka
strany třetí. Nechť vektory a, b a c jsou prvky lineárního prostoru se skalárním součinem a představme si
je jako vrcholy pomyslného trojúhelníka. Velikost stran je totéž jako vzdálenost odpovídajících vektorů.
Geometrické tvrzení o velikostech stran trojúhelníka tedy můžeme pomocí definice 8.23 přepsat takto: