Lineární algebra

lárním součinem.

8.3. Poznámka. Je třeba rozlišovat mezi podobně znějícími pojmy „skalární násobekÿ a „skalární
součinÿ. Skalární násobek · : R × L → L je násobek vektoru reálným číslem, který je definován v každém
lineárním prostoru. Na druhé straně skalární součin · : L × L → R je součin vektorů mezi sebou.

8.4. Poznámka. Upozorňujeme, že stejně jako v definici lineárního prostoru 1.6, jsou ve vlastnostech (1)
až (4) definice skalárního součinu používány symboly „+ÿ a „·ÿ v různých významech podle toho, jakého
typu jsou jejich operandy. Například první „+ÿ ve vlastnosti (2) označuje sčítání vektorů podle definice
lineárního prostoru, zatímco druhé „+ÿ v této vlastnosti je sčítáním reálných čísel. Nebo první symbol „·ÿ
ve vlastnosti (3) znamená skalární násobek definovaný v lineárním prostoru L, druhý symbol „·ÿ označuje
skalární součin. Třetí symbol „·ÿ ve vlastnosti (3) je součin reálných čísel a poslední symbol „·ÿ v této
vlastnosti znovu znamená skalární součin.

Dále připomínáme, že budeme symbol „·ÿ jako dosud často vynechávat, takže místo x · y budeme

stručně psát xy.

8.5. Poznámka. Všimneme si, že jsme v definici 1.6 lineárního prostoru definovali tento prostor „nad
reálnými číslyÿ, protože jsme definovali násobek vektoru reálným číslem. Nic nám ale nebránilo zcela
stejně definovat násobek vektoru komplexním číslem. Až dosud jsme mohli nahradit slovo „reálné čísloÿ
slovem „komplexní čísloÿ a naše teorie by zůstala platná. Všechny předchozí věty by nadále platily.

Kdybychom ale chtěli definovat skalární součin jako komplexní číslo, museli bychom upravit vlast-

nost (1) definice 8.2 takto:

(1)

xy = yx,