Lineární algebra

7.82. Věta. Nechť A je čtvercová matice typu (n, n). Sestavme libovolná komplexní čísla λ1, . . . , λn do
diagonální matice D = diag(λ1, . . . , λn) a libovolné nenulové vektory x1, . . . , xn z C

n zapišme do sloupců

matice P, tj. P = (xT

1 , . . . , x

T

n ). Pak platí: čísla λ1, . . . , λn jsou vlastními čísly matice A a x1, . . . , xn

jsou jejich odpovídající vlastní vektory právě tehdy, když je splněna rovnost PD = AP.

Důkaz. Rozepišme maticové násobení: PD = (xT

1 , . . . , x

T

n ) · diag(λ1, . . . , λn) = (λ1 x

T

1 , . . . , λn x

T

n ). Dále

je AP = A(xT

1 , . . . , x

T

n ) = (Ax

T

1 , . . . , Ax

T

1 ). Máme tedy obě strany zkoumané rovnosti PD = AP

rozepsány do sloupců. Vidíme, že rovnost v i-tém sloupci λi x

T
i

= AxT

i

platí právě tehdy, když λi je

vlastní číslo matice A a xi je příslušný vlastní vektor.

7.83. Věta. Nechť má čtvercová matice A s n řádky n lineárně nezávislých vlastních vektorů (každý
z nich přísluší nějakému vlastnímu číslu matice). Pak je matice A podobná diagonální matici.

Důkaz. Sestavíme diagonální matici D z vlastních čísel příslušných vlastním vektorům x1, . . . , xn. Dále
použijeme předchozí větu. Protože matice P = (xT

1 , . . . , x

T

n ) obsahuje podle předpokladu věty lineárně

nezávislé sloupce, je P regulární, takže je možné vztah PD = AP vynásobit zprava maticí P−1. Dostá-
váme A = PDP−1, takže matice A je podobná matici D.

7.84. Věta. Nechť je matice A podobná diagonální matici, to znamená, že existuje regulární matice P
a diagonální matice D takové, že A = PDP−1. Pak D obsahuje vlastní čísla matice A a ve sloupcích
matice P jsou vlastní vektory příslušné (podle pořadí) odpovídajícím vlastním číslům zapsaným v D.