Lineární algebra

7.75. Definice. Nechť A je čtvercová matice. Polynom det(A − λ E) nazýváme charakteristický po-
lynom matice A a rovnost det(A − λ E) = 0 charakteristickou rovnicí. Je-li λ k-násobným kořenem
charakteristické rovnice, říkáme, že λ je k-násobným vlastním číslem.

7.76. Příklad. Uvedeme ještě celý postup odvození výpočtu vlastních čísel matice (viz předchozí po-
známku) znovu na konkrétním numerickém příkladě, protože odvození může pro někoho být na konkrét-
ním příkladě názornější. Budeme hledat vlastní čísla a vlastní vektory matice

A =

5 −2

2

−1

4 −1

−4

4 −1

.

Podle definice 7.70 hledáme takové číslo λ a vektor x = (x1, x2, x3), aby byla splněna maticová rovnost

5 −2

2

−1

4 −1

−4

4 −1

·

x1
x2
x3

= λ

x1
x2
x3

,

a přitom vektor x byl nenulový. Rozepíšeme tuto rovnost do složek:

5x1 − 2x2 + 2x3 = λx1

−x1 + 4x2 − x3 = λx2

−4x1 + 4x2 − x3 = λx3

tj.

(5 − λ)x1

− 2x2

+ 2x3 = 0

−x1+(4 − λ)x2

− x3 = 0

−4x1

+ 4x2+(−1 − λ)x3 = 0

Potřebujeme, aby uvedená homogenní soustava se čtvercovou maticí měla nenulové řešení. Matice sou-
stavy tedy musí být singulární, tj. musí mít nulový determinant:

det

5 − λ

−2

2

−1

4 − λ

−1

−4

4

−1 − λ

= 0.

79

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

Hledáme tedy λ takové, aby det(A − λE) = 0. Příště už toto odvození nebudeme opakovat, ale začneme
rovnou od rovnice det(A − λE) = 0.

det(A − λE) = (5 − λ)(4 − λ)(−1 − λ) − 16 − −4(4 − λ) − 4(5 − λ) + 2(−1 − λ)

 = −(λ − 3)2(λ − 2),

takže vlastní čísla jsou λ = 3 a λ = 2. Najdeme ještě vlastní vektory. Nejprve najdeme vlastní vektory
příslušné vlastnímu číslu 3: