Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0 ) = A
−1
(S0,B)
. Níže uvádíme závěrečné
výpočty:
1 1 2
1 0 0
1 2 1
0 1 0
2 2 5
0 0 1
∼
1 1
2
1 0 0
0 2 −1
−1 1 0
0 0
1
−2 0 1
∼
1 0 0
8 −1 −3
0 1 0
−3
1
1
0 0 1
−2
0
1
,
A = A
0 · A
(B,S0) =
1 2 1
0 0 2
1 2 2
0 0 1
·
8 −1 −3
−3
1
1
−2
0
1
=
0 1 0
−4 0 2
−2 1 1
−2 0 1
.
7.58. Poznámka. Při použití věty 7.56 vychází věta 6.23 jako důsledek věty 7.49: je-li A(B,C) maticí
přechodu od báze (B) k bázi (C), pak podle věty 6.21 je A
−1
(B,C) maticí přechodu od báze (C ) k bázi (B).
Podle věty 7.56 je A
−1
(B,C) rovněž maticí identity vzhledem k bázím (B) a (C ). Nyní použijeme větu 7.49.
Nechť x ∈ L, x = (x1, x2, . . . , xn)(B), I(x) = x = (y1, y2, . . . , yn)(C), pak platí
A
−1
(B,C) ·
x1
..
.
xn
=
y1
..
.
yn
.
Po vynásobení maticí A(B,C) zleva dostáváme tvrzení věty 6.23.
A(B,C) ·
y1
..
.
yn
=
x1
..
.
xn
.
77
Lineární algebra
7. Lineární zobrazení
7.59. Věta. Nechť A : L1 → L2 je lineární zobrazení a nechť (B1), (C1) jsou báze lineárního prostoru L1
a (B2), (C2) jsou báze lineárního prostoru L2. Označme symbolem A(B
1 ,C1 )
matici přechodu od báze
(B1) k (C1) a A(C
2 ,B2 )
matici přechodu od báze (C2) k (B2). Je-li A matice zobrazení A vzhledem
k bázím (B1), (B2), pak A(C
2 ,B2 ) · A · A(B1 ,C1 ) je matice téhož lineárního zobrazení vzhledem k bázím
(C1), (C2).
Důkaz. Matice A(B
1 ,C1 ) je podle věty 7.56 maticí identického zobrazení I1 : L1 → L1 vzhledem k bázím
(C1) a (B1). Stejně tak matice A(C
2 ,B2 ) je maticí identity I2 : L2 → L2 vzhledem k bázím (B2 ) a (C2 ).
Dále si stačí uvědomit, že A = I2 ◦ A ◦ I1 a použít větu 7.55.