Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
5 − 3
−2
2
−1
4 − 3
−1
−4
4
−1 − 3
=
2 −2
2
−1
1 −1
−4
4 −4
∼ 1 −1 1
.
Báze řešení homogenní soustavy s maticí (1 −1
1) je například {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}. Toto jsou dva
lineárně nezávislé vlastní vektory, které přísluší vlastnímu číslu 3. Všechny vlastní vektory příslušející
vlastnímu číslu 3 tvoří lineární obal této báze, ovšem bez nulového vektoru. Nyní najdeme vlastní vektory,
které přísluší vlastnímu číslu 2:
5 − 2
−2
2
−1
4 − 2
−1
−4
4
−1 − 2
=
3 −2
2
−1
2 −1
−4
4 −3
∼
−1
2 −1
0
4 −1
0 −4
1
∼
−1 2 −1
0 4 −1
.
Dimenze prostoru řešení homogenní soustavy s touto maticí je 1, tj. stačí najít jeden vektor řešení:
(−2, 1, 4) a ostatní vektory řešení jsou jeho násobky. Tato řešení (bez nulového) jsou též všechny vlastní
vektory matice A, které přísluší vlastnímu číslu 2.
Celkem tedy má matice A tři lineárně nezávislé vlastní vektory: (1, 1, 0), (−1, 0, 1), (−2, 1, 4). První
dva příslušejí vlastnímu číslu 3 a poslední přísluší vlastnímu číslu 2.
7.77. Příklad. Následující příklad ukazuje, že nemusí existovat tolik lineárně nezávislých vlastních
vektorů, kolik řádků má matice. Budeme hledat vlastní čísla a vlastní vektory matice:
A =
2
4 −3
−1 10 −6
−1
8 −4
.
Vypočteme determinant matice A − λE:
det
2 − λ
4
−3
−1
10 − λ
−6
−1
8
−4 − λ
= −(λ − 3)
2(λ − 2).
Vidíme, že matice má stejná vlastní čísla, jako matice z předchozího příkladu. Nyní vypočítáme vlastní
vektory:
λ = 3 :
2 − 3
4
−3
−1
10 − 3
−6
−1
8
−4 − 3
=
−1 4 −3
−1 7 −6
−1 8 −7
∼
−1 4 −3
0 3 −3
0 4 −4
∼
−1 4 −3
0 1 −1
!
vlastní
vektor:
(1, 1, 1)
λ = 2 :