Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2 − 2
4
−3
−1
10 − 2
−6
−1
8
−4 − 2
=
0 4 −3
−1 8 −6
−1 8 −6
∼
−1 8 −6
0 4 −3
!
vlastní
vektor:
(0, 3, 4)
Na rozdíl od předchozího příkladu vícenásobnému vlastnímu číslu 3 přísluší jen jeden lineárně ne-
závislý vlastní vektor. Tato matice má tedy dohromady jen dva lineárně nezávislé vlastní vektory:
(1, 1, 1), (0, 3, 4), které po řadě příslušejí vlastním číslům 3 a 2.
7.78. Věta. Podobné matice mají stejný charakteristický polynom.
Důkaz. Nechť P je regulární. Matice P−1AP je podobná matici A. Vypočteme její charakteristický
polynom:
det(P
−1AP − λ E) = det(P−1AP − λ P−1EP) = det(P−1AP − P−1λ EP) =
= det(P
−1 (A − λ E) P) = det P−1 det(A − λ E) det P = det(A − λ E),
protože det P−1 det P = 1.
80
Lineární algebra
7. Lineární zobrazení
7.79. Poznámka. Právě uvedený výsledek je v souladu s poznámkou 7.73.
7.80. Poznámka. Matice z příkladů 7.76 a 7.77 mají sice stejný charakteristický polynom, ale za chvíli
ukážeme, že si nejsou podobné. Tvrzení věty 7.78 tedy nelze obrátit.
Podobnost
s diagonální
maticí
7.81. Příklad. Diagonální matice
D =
λ1
0
0
. . .
0
0
λ2
0
. . .
0
0
0
λ3
. . .
0
. . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0
. . .
λn
má charakteristický polynom (λ1 −λ) (λ2 −λ) · · · (λn −λ), protože determinant diagonální matice D−λ E
je roven součinu prvků na diagonále. Vlastní čísla matice D tedy jsou λ1, λ2, . . . , λn.
Vlastní vektor matice D příslušný vlastnímu číslu λi je vektor obsahující samé nuly s výjimkou i-té
složky, ve které je nějaké nenulové číslo, třeba jednička.
Matici D z tohoto příkladu budeme značit D = diag(λ1, λ2, . . . , λn). Tím ušetříme papír.