Lineární algebra

7.90. Poznámka. Stále předpokládáme čtvercovou matici A typu (n, n). Problémy nastanou, pokud
číslo dλ = n−hod(A−λE) je menší než násobnost vlastního čísla λ. Pak nelze najít n lineárně nezávislých
vlastních vektorů a matice A není podobná diagonální matici. Příklad 7.77 ilustruje, že takové případy
opravdu nastávají. Matice A je pak podobná jen „skoro diagonální maticiÿ, která má na hlavní diagonále
vlastní čísla a těsně nad touto diagonálou se občas vyskytují jedničky. Této matici se říká Jordanův
kanonický tvar. Je potřeba definovat tzv. zobecněný vlastní vektor a tento pojem použít k vybudování
regulární matice P, která převádí matici A na Jordanův kanonický tvar. Všechny tyto pojmy vyžadují
hlubší studium a přesahují bohužel rámec tohoto úvodního textu. Pro další studium lze doporučit [14].

7.91. Poznámka. Věty 7.83 a 7.84 se dají formulovat z úhlu pohledu lineárního zobrazení:

7.92. Věta. Nechť A : L → L je lineární zobrazení, dim L = n. Zobrazení A má n lineárně nezávislých
vlastních vektorů právě tehdy, když existuje báze (B) prostoru L taková, že A má vzhledem k této bázi
diagonální matici D. Přitom na diagonále matice D jsou vlastní čísla zobrazení A a báze (B) obsahuje
vlastní vektory příslušné vlastním číslům v matici D ve stejném pořadí.

Důkaz. Zvolme nějakou výchozí bázi (V ) prostoru L. Označme symbolem A matici zobrazení A vzhle-
dem k bázi (V ). Existence báze (B) takové, že matice zobrazení A vzhledem k ní je D, je ekvivalentní
s platností vztahu A = PDP−1, kde P je matice přechodu od (V ) k (B). Dále při důkazu tvrzení „právě
tehdy kdyžÿ použijeme v jednom směru větu 7.83. V druhém směru použijeme větu 7.84 a skutečnost,
že matice přechodu P obsahuje ve sloupcích souřadnice báze (B) vzhledem k bázi (V ).