Lineární algebra

(2)

(x + y) · z = (x1 + y1) z1 + (x2 + y2) z2 + · · · + (xn + yn) zn =

= x1z1 + x2z2 + · · · + xnzn + y1z1 + y2z2 + · · · + ynzn = x · z + y · z,

(3)

(α · x) · y = αx1y1 + αx2y2 + · · · + αxnyn = α (x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn) = α (x · y),

(4)

x · x = x

2
1 + x

2
2 + · · · + x

2
n ≥ 0.

Vidíme, že z x2

1 + x

2

2 + · · · + x

2

n = 0 plyne x1 = x2 = · · · = xn = 0, takže je splněna i druhá část

vlastnosti (4).

Skalární součin na Rn definovaný vzorcem (8.1) nazýváme standardním skalárním součinem. Násle-

dující příklady ukazují, že existují i jiné skalární součiny na Rn.

8.8. Příklad. Definujme součin na R2 takto

(x1, x2) · (y1, y2) = x1y1 + 6x2y2 + 2x1y2 + 2x2y1.

Ukážeme, že takto definovaný součin je skalárním součinem na R2.

Ověříme vlastnosti (1) až (4) definice 8.2

(1)

(x1, x2) · (y1, y2) = x1y1 + 6x2y2 + 2x1y2 + 2x2y1 =

= y1x1 + 6y2x2 + 2y1x2 + 2y2x1 = (y1, y2) · (x1, x2),

(2)

(x1, x2) + (y1, y2)

 · (z1, z2) = (x1 + y1) z1 + 6(x2 + y2) z2 + 2(x1 + y1) z2 + 2(x2 + y2) z1 =

= x1z1 + 6x2z2 + 2x1z2 + 2x2z1 + y1z1 + 6y2z2 + 2y1z2 + 2y2z1 =

= (x1, x2) · (z1, z2) + (y1, y2) · (z1, z2),

(3)

α (x1, x2)

 · (y1, y2) = (α x1, α x2) · (y1, y2) = αx1y1 + 6αx2y2 + 2αx1y2 + 2αx2y1 =

= α (x1y1 + 6x2y2 + 2x1y2 + 2x2y1) = α (x1, x2) · (y1, y2)

,

(4)

(x1, x2) · (x1, x2) = x

2
1 + 6x

2
2 + 4x1x2

?

≥ 0.

Abychom dokázali vlastnost (4), potřebujeme pro x1 6= 0, x2 6= 0 dokázat, že x