Lineární algebra

kf k =

s

Z

D

f 2(x) dx,

ϕ = arccos

R

D f (x)g(x) dx

q

R

D f

2(x) dx

R

D g

2(x) dx

,

kf − gk =

s

Z

D

f (x) − g(x)

2 dx.

Kolmé
vektory

8.28. Poznámka. Protože máme na lineárních prostorech se skalárním součinem definován úhel mezi
nenulovými vektory, můžeme pro každé dva nenulové vektory rozhodnout, kdy jsou na sebe kolmé. Je to
tehdy, když je cos ϕ = 0, neboli x · y = 0. Z toho vyplývá následující definice.

8.29. Definice. Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem. Dva nenulové vektory x ∈ L a y ∈ L
jsou na sebe kolmé (značíme x ⊥ y), pokud je x · y = 0.

8.30. Příklad. (Pythagorova věta.) Nechť x ∈ L, y ∈ L jsou nenulové vektory, které jsou na sebe kolmé.
Pak platí

kxk2 + kyk2 = kx − yk2.

Zdůvodnění je jednoduché: kx − yk2 = (x − y) · (x − y) = x · x − 2x · y + y · y = kxk2 − 2 · 0 + kyk2.
Geometrická interpretace tohoto příkladu je následující. Trojúhleník s vrcholy o, x a y je pravoúhlý
s pravým úhlem při vrcholu o. Čísla kxk, kyk jsou velikosti odvěsen a kx − yk je velikost přepony.

Ortonor-
mální báze

8.31. Definice. Nechť B = {b1, b2, . . . , bn} je báze lineárního prostoru se skalárním součinem. Bázi B
nazýváme ortogonální, pokud bi ⊥ bj ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j.

Bázi B nazýváme ortonormální, pokud je ortogonální, a navíc kbik = 1, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.

8.32. Věta. Báze B = {b1, b2, . . . , bn} je ortonormální právě tehdy, když

bi · bj =

 0 pro i 6= j,

1 pro i = j.

Důkaz. Báze B je ortonormální právě tehdy, když (podle definice 8.31) platí bi · bj = 1 pro i = j a navíc
je ortogonální, tj. bi ⊥ bj pro i 6= j. To podle definice 8.29 znamená, že bi · bj = 0 pro i 6= j.