Lineární algebra

αi xi · xi = o · xi = 0.

Protože xi · xi je nenulové číslo, musí být αi = 0. Tuto operaci můžeme provést pro každý index
i ∈ {1, 2, . . . , n}, takže všechna čísla čísla αi jsou nutně nulová.

8.36. Věta. Nechť (B) = (b1, b2, . . . , bn) je ortonormální báze lineárního prostoru se skalárním součinem.
Pak pro souřadnice libovolného vektoru x platí

x = (x·b1, x·b2, . . . , x·bn)(B).

Důkaz. Označme y = (x · b1) b1 + (x · b2) b2 + · · · + (x · bn) bn. Podle definice souřadnic vzhledem k bázi
máme dokázat, že x = y. Násobme vektor y vektorem bi:

y · bi = (x · b1) b1 + (x · b2) b2 + · · · + (x · bn) bn

 · bi = (x · bi) bi · bi = x · bi,

protože báze (B) je ortonormální. Máme tedy výsledek x · bi = y · bi ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Vektor x − y je kolmý na všechny prvky bi, protože z předchozího výpočtu plyne (x − y) · bi = 0.

Pokud by x 6= y, pak podle věty 8.35 jsou vektory b1, b2, . . . , bn, x − y lineárně nezávislé, ale to je ve
sporu s tím, že (B) je báze. Musí tedy být x = y.

8.37. Poznámka. Předchozí věta má názornou geometrickou interpretaci. Souřadnice x · bi jsou vlastně
kolmé průměty vektoru x na vektory báze bi. O těchto pojmech pohovoříme podrobněji v následující
kapitole.

8.38. Věta. Nechť (B) = (b1, b2, . . . , bn) je ortonormální báze lineárního prostoru se skalárním součinem
a x = (x1, x2, . . . , xn)(B) je jeho libovolný vektor. Pak úhel ϕi mezi vektorem x a vektorem bi lze počítat
podle vzorce