Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ka − bk ≤ ka − ck + kc − bk.
Při volbě x = a − c, y = c − b přechází uvedená nerovnost na tvar (8.4).
8.26. Příklad. Uvažujme lineární prostor R4 se standardním skalárním součinem (8.1). Ukážeme, jak
vypadá velikost vektoru (1, 2, 3, 4) a jaký je úhel mezi vektory (1, 2, 3, 4) a (1, 0, 0, 2).
Podle definice 8.17 a podle (8.1) je
(1, 2, 3, 4)
=
p
(1, 2, 3, 4) · (1, 2, 3, 4) =
p
12 + 22 + 32 + 42 =
√
30.
Podle definice 8.20 platí pro úhel ϕ následující rovnost:
cos ϕ =
(1, 2, 3, 4) · (1, 0, 0, 2)
(1, 2, 3, 4)
·
(1, 0, 0, 2)
=
1 + 0 + 0 + 4 · 2
√
30 ·
√
1 + 4
=
9
√
150
,
tj.
ϕ = arccos
9
√
150
.
8.27. Příklad. Nechť L je lineární prostor spojitých funkcí definovaných na konečném uzavřeném inter-
valu D ⊆ R. Ukážeme, že předpis
f · g =
Z
D
f (x) g(x) dx
86
Lineární algebra
8. Lineární prostory se skalárním součinem
definuje skalární součin na lineárním prostoru L. Ověříme vlastnosti (1) až (4). Nechť f ∈ L, g ∈ L,
h ∈ L a α ∈ R. Pak platí
(1)
f · g =
Z
D
f (x) g(x) dx =
Z
D
g(x) f (x) dx = g · f,
(2)
(f + g) · h =
Z
D
f (x) + g(x)
h(x) dx =
Z
D
f (x) h(x) + g(x) h(x)
dx =
=
Z
D
f (x) h(x) dx +
Z
D
g(x) h(x) dx = f · h + g · h,
(3)
(αf ) · g =
Z
D
αf (x) g(x) dx = α ·
Z
D
f (x) g(x) dx = α (f · g),
(4)
f · f =
Z
D
f
2(x) dx ≥ 0,
Z
D
f
2(x) dx = 0 jen tehdy, když f(x) = 0 ∀x ∈ D, protože f je spojitá.
Příklad ilustruje, že i na lineárních prostorech nekonečné dimenze jsme schopni definovat skalární součin.
Z tohoto skalárního součinu odvozená norma funkce f kf k, „úhel ϕ mezi funkcemi f a gÿ a „vzdálenost
dvou funkcí f a gÿ kf − gk se počítá takto: