Lineární algebra

8.17. Definice. Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem. Pro x ∈ L definujeme velikost
vektoru x hodnotou

√

x · x. Velikost vektoru x značíme kxk, takže je

kxk =

√

x · x,

tj. kxk

2 = x · x.

Místo pojmu „velikost vektoruÿ se často používá pojem norma vektoru.

8.18. Poznámka. Vidíme, že velikost je nezáporné číslo a že každý vektor má svou velikost. To nám
zaručuje vlastnost (4) definice 8.2. Je x · x ≥ 0, takže odmocnina z tohoto čísla je definována.

Dále vidíme, že jedině nulový vektor má velikost rovnu nule a žádný jiný. To nám zaručuje druhá

část vlastnosti (4).

8.19. Věta. Nechť x je prvkem lineárního prostoru se skalárním součinem, α ∈ R. Pak

kα xk = |α| · kxk.

Důkaz. kα xk =

p

(α x) · (α x) =

√

α2 x · x =

√

α2 ·

√

x · x = |α| · kxk.

Úhel dvou
vektorů

8.20. Definice. Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem a x ∈ L, y ∈ L, x 6= o, y 6= o. Pak
úhel mezi vektory x a y je takové číslo ϕ ∈ h0, 2π), pro které platí

cos ϕ =

x · y

kxk · kyk

.

(8.2)

8.21. Poznámka. Zabývejme se otázkou, zda každé dva nenulové vektory mají definován úhel mezi
sebou. Především podle poznámky 8.18 platí, že kxk 6= 0, kyk 6= 0, protože x 6= o, y 6= o. Takže se ve
zlomku z rovnosti (8.2) nedělí nulou.

Aby existovalo ϕ takové, že platí (8.2), musí platit

−1 ≤

x · y

kxk · kyk

≤ 1.

Tento požadavek zaručuje následující věta.

85

Lineární algebra

8. Lineární prostory se skalárním součinem

8.22. Věta (Schwartzova nerovnost). Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem a x ∈ L,
y ∈ L. Pak platí:

|x · y| ≤ kxk · kyk.