Lineární algebra

84

Lineární algebra

8. Lineární prostory se skalárním součinem

8.13. Poznámka. Pozitivně definitní matice je vždy regulární, protože det A = det A0 > 0.

8.14. Věta. Nechť A je čtvercová matice typu (n, n). Definujme součin na Rn takto. Pro x ∈ Rn,
y ∈ Rn je

x · y = x · A · y

T ,

kde na pravé straně rovnosti je maticový součin jednořádkové matice x, která obsahuje složky vektoru x,
s maticí A a s maticí yT , což je sloupec složek vektoru y.

Pak x · y je skalárním součinem právě tehdy, když A je symetrická a pozitivně definitní matice.

Důkaz. Uvedeme jen stručný náznak. Pro vlastnost (1) skalárního součinu je nutná symetrie matice A.
Vlastnost (2) a (3) je zaručena pro jakoukoli čtvercovou matici A. Konečně vlastnost (4) je zaručena
díky tomu, že matice A je pozitivně definitní. Na oprávněnou otázku „pročÿ zde máme malý prostor pro
odpověď. Odkazujeme například na učebnici [5].

8.15. Příklad. Vraťme se k příkladu 8.8. Tam je skalární součin definován takto:

x · y = (x1, x2) ·

 1 2

2 6

·

 y1

y2

.

Protože pro uvedenou matici platí A = AT , jedná se o symetrickou matici. Spočteme dále jednotlivé
determinanty: det A0 = det A = 2, det A1 = det(1) = 1. Protože oba determinanty jsou kladná čísla,
jedná se o pozitivně definitní matici. Podle věty 8.14 je definovaný součin skalárním součinem.

Velikost
vektoru

8.16. Poznámka. Budeme definovat velikost vektoru a úhel mezi dvěma nenulovými vektory na obec-
ných lineárních prostorech se skalárním součinem. Tyto pojmy definujeme jen pomocí skalárního součinu
pro zcela libovolné vektory. V následující kapitole ukážeme, že pokud budeme pracovat s vektory s geome-
trickým významem (např. s orientovanými úsečkami), pak pojmy velikost a úhel nyní zavedené abstraktně
budou znamenat přesně to, co od nich z geometrického hlediska očekáváme.