Lineární algebra

7.93. Poznámka. Při práci s lineárním zobrazením se někdy hodí zvolit takovou bázi, ve které je matice
tohoto zobrazení „co nejbližšíÿ matici diagonální. Právě vyslovená věta říká, že za jistých okolností lze
zvolit bázi, vzhledem ke které je matice zobrazení přímo diagonální. Pokud (x1, . . . , xn) jsou souřad-
nice vstupního vektoru x vzhledem k této bázi, pak výstupní vektor A(x) má vzhledem ke stejné bázi
souřadnice (λ1x1, . . . , λnxn), kde λ1, . . . , λn jsou vlastní čísla tohoto zobrazení.

82

8. Lineární prostory se skalárním součinem

8.1. Poznámka. Lineární prostor je libovolná množina, na které je definováno sčítání a násobení konstan-
tou tak, aby byly splněny vlastnosti (1) až (7) z definice 1.6. Pokud na takové množině navíc definujeme
násobení prvků mezi sebou tak, že výsledek násobení je reálné číslo a násobení splňuje níže uvedené
vlastnosti (1) až (4), definovali jsme na lineárním prostoru skalární součin. Ten nám umožní pracovat
s novými vlastnostmi prvků lineárního prostoru, jako je jejich velikost a úhel mezi dvěma prvky.

Definice
skalárního
součinu

8.2. Definice. Nechť L je lineární prostor. Operaci · : L × L → R nazveme skalárním součinem, pokud
splňuje ∀x ∈ L, ∀y ∈ L, ∀z ∈ L, ∀α ∈ R následující vlastnosti

(1)

x · y = y · x,

(2)

(x + y) · z = x · z + y · z,

(3)

(α · x) · y = α · (x · y),

(4)

x · x ≥ 0,

x · x = 0 jen tehdy, když x = o.

Ve vlastnosti (4) značí symbol o nulový vektor lineárního prostoru L.

Lineární prostor L, na kterém je definován skalární součin, nazýváme lineárním prostorem se ska-