Lineární algebra

(A − λk+1E)

k+1
X

i=1

αix

T
i

=

k+1
X

i=1

αi(Ax

T
i − λk+1x

T
i ) =

k+1
X

i=1

αi(λix

T
i − λk+1x

T
i ) =

k+1
X

i=1

αi(λi − λk+1) x

T
i

= o

T .

Koeficient u posledního sčítance v této rovnosti je nulový, protože λk+1 − λk+1 = 0. Podle indukčního
předpokladu jsou vektory x1, . . . xk lineárně nezávislé, takže i ostatní koeficienty musejí být nulové.
Protože ale λi 6= λk+1, musí αi = 0 pro i ∈ {1, . . . , k}. Dosadíme-li tento poznatek do výchozího tvaru
rovnosti, máme 0 x1 + · · · + 0 xk + αk+1xk+1 = αk+1xk+1 = o. Protože xk+1 je vlastní vektor a tudíž
nenulový, musí αk+1 = 0.

7.88. Poznámka. Nechť A je typu (n, n) a nechť jsou všechna vlastní čísla matice A jednonásobná. To
znamená, že existuje n různých vlastních čísel. Pak podle předchozí věty jim příslušející vlastní vektory
jsou lineárně nezávislé. Podle věty 7.83 je tedy matice A podobná diagonální matici.

7.89. Poznámka. Uvažujme matici A typu (n, n). Může se stát, že nějaké vlastní číslo λ této matice je
vícenásobné. To může ale nemusí způsobit, že k matici A přestane existovat podobná diagonální matice.
Záleží na číslu dλ = n−hod(A−λE). Protože A−λE je singulární, je toto číslo aspoň 1. Vzhledem k tomu,
že dλ je dimenze prostoru řešení homogenní soustavy (A − λE) x = o, můžeme najít k vlastnímu číslu λ
právě dλ lineárně nezávislých vlastních vektorů. Prostudujeme-li zpětně důkaz věty 7.87, shledáme, že
jsme v indukčním kroku nepotřebovali vzájemnou různost vlastních čísel λ1, . . . , λk, jen jsme chtěli, aby
λk+1 bylo od ostatních různé. Pokud je číslo dλ pro každé vícenásobné vlastní číslo rovno jeho násobnosti,
pak můžeme postupně do „balíčku linárně nezávislých vlastních vektorůÿ přihazovat za každé vlastní číslo
tolik vektorů, kolik je násobnost vlastního čísla. Dohromady získáme n lineárně nezávislých vektorů, takže
podle věty 7.83 je A podobná diagonální matici.