Lineární algebra

7.70. Definice. Nechť A je čtvercová matice typu (n, n) reálných nebo komplexních čísel. Číslo λ ∈ C
se nazývá vlastním číslem matice A, pokud existuje vektor x ∈ Cn, x 6= o, takový, že A · xT = λ xT .
Vektor x, který splňuje uvedenou rovnost, se nazývá vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ.

78

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

7.71. Věta. Nechť A : L → L je lineární zobrazení a A je jeho matice vzhledem k nějaké bázi (B). Pak λ
je vlastním číslem zobrazení A právě tehdy, když je vlastním číslem matice A. Navíc x je vlastní vektor
zobrazení A příslušný λ právě tehdy, když souřadnice vektoru x vzhledem k bázi (B) tvoří vlastní vektor
matice A příslušný λ.

Důkaz. Označme u ∈ Cn souřadnice vektoru x v bázi (B). Podle věty 7.49 sloupec A · uT obsahuje
souřadnice obrazu A(x) vzhledem k bázi (B). Takže A(x) = λ x právě tehdy, když A · uT = λ uT .

7.72. Poznámka. Množina všech vlastních čísel lineárního zobrazení nebo matice se nazývá spektrum.
Vlastním číslům/vektorům někteří čeští autoři říkají charakteristická čísla/vektory (anglicky eigenvalue,
eigenvector, což je odvozeno z němčiny).

7.73. Poznámka. Vlastní číslo zobrazení A je podle předchozí věty vlastním číslem všech matic tohoto
zobrazení (vzhledem k rozličným bázím). Tyto matice jsou podle poznámky 7.62 vzájemně podobné.
Můžeme tedy říci, že pokud P je regulární matice, pak vlastní čísla matic A a P−1 · A · P jsou stejná.

7.74. Poznámka. Přikročíme nyní k výpočtu vlastních čísel, je-li dána čtvercová matice A. Vyjdeme
z rovnosti A · xT = λ xT = λ E · xT . Z obou stran této rovnice odečteme λ E · xT . Dostáváme vztah
A · xT − λ E · xT = (A − λ E) · xT = oT . Z definice vlastního čísla víme, že příslušný vlastní vektor x musí
být nenulový. Je tedy zřejmé, že λ bude vlastním číslem matice A právě tehdy, když homogenní soustava
s maticí A − λ E bude mít nenulové řešení. Tímto řešením pak bude vlastní vektor příslušný vlastnímu
číslu λ. Aby tato soustava měla nenulové řešení, musí její matice být singulární, tj. musí det(A−λ E) = 0.
Tím máme odvozen vzorec na výpočet vlastních čísel. Uvědomíme si ještě, že det(A − λ E) je polynom
v proměnné λ. Tento polynom se nazývá charakteristický polynom matice A. Jeho stupeň je stejný, jako
počet řádků matice A. Označme toto číslo n. Abychom tedy našli všechna vlastní čísla dané matice,
stačí najít všechny kořeny charakteristického polynomu této matice. Podle základní věty algebry těchto
kořenů (včetně jejich násobnosti) je n. Každá matice má tedy n vlastních čísel (obecně ne vzájmeně
různých). Každé lineární zobrazení A : L → L má tolik vlastních čísel, kolik je dimeze L.