Lineární algebra

.

Při x4 = t, x2 = u je x3 = −2t, x1 = −2u − 2(−2t) − 3t = t − 2u. Jinak napsáno je:

(x1, x2, x3, x4) = (t − 2u, u, −2t, t) = t (1, 0, −2, 1) + u (−2, 1, 0, 0),

Ker A =

(1, 0, −2, 1), (−2, 1, 0, 0).

Dále je def A = dim Ker A = 2, hod A = hod A = 2. Podle věty 7.53 je skutečně 2 + 2 = dim R4.

Matice
složeného
zobrazení

7.55. Věta. Nechť L1, L2, L3 jsou lineární prostory konečné dimenze, A : L1 → L2, B : L2 → L3 jsou
lineární zobrazení. Nechť dále (B) je uspořádaná báze L1, (C) je uspořádaná báze L2 a (D) je uspořádaná
báze L3. Předpokládejme ještě, že A je matice zobrazení A vzhledem k bázím (B) a (C) a konečně B je
matice zobrazení B vzhledem k bázím (C) a (D). Pak B · A je matice složeného zobrazení B ◦ A vzhledem
k bázím (B) a (D).

Důkaz. Při označení (B) = (b1, b2, . . . , bn), (C) = (c1, c2, . . . , cm), (D) = (d1, d2, . . . , dk) podle defi-
nice 7.43 platí:

A(b1), A(b2), . . . , A(bn)

 = (c1, c2, . . . , cm) · A,

B(c1), B(c2), . . . , B(cm)

 = (d1, d2, . . . , dk) · B.

Protože B je lineární, platí

B A(b1)

, B A(b2), . . . , B A(bn)

= B(c1), B(c2), . . . , B(cm)

 · A = (d1, d2, . . . , dk) · B · A.

Podle definice 7.31 je B A(x)

 = (B ◦ A)(x), takže B · A je maticí zobrazení B ◦ A vzhledem k bázím (B)

a (D).

76

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

Matice
identity

7.56. Věta. Nechť (B) a (C) jsou dvě báze lineárního prostoru L. Pak matice identického zobrazení
I : L → L vzhledem k bázím (B) a (C) je rovna matici přechodu A(C,B) od báze (C) k bázi (B).