Lineární algebra

7.40. Poznámka. Se všemi lineárními prostory konečné dimenze můžeme tedy pracovat stejně jako
s Rn. Stačí v lineárním prostoru najít nějakou bázi a dále už jen pracovat se souřadnicemi vzhledem
k této bázi. Setkali jsme se například s lineárním prostorem všech polynomů nejvýše n-tého stupně, který
je izomorfní s Rn+1, s lineárním prostorem matic typu (m, n), který je izomorfní s Rm·n a s lineárním
prostorem orientovaných úseček, který je izomorfní s R3.

7.41. Věta. Nechť A : L1 → L2 a B : L2 → L3 jsou izomorfismy. Pak je izomorfismem i složené zobrazení
(B ◦ A) : L1 → L3.

Důkaz. Že je B ◦ A lineární, dokazuje věta 7.32. Ukážeme, že je B ◦ A prosté. Nechť x ∈ L1, y ∈ L1,
x 6= y. Pak platí A(x) 6= A(y), protože A je prosté. Také platí B A(x)

 6= B A(y), protože je B prosté.

Tím jsme dokázali, že (B ◦ A)(x) 6= (B ◦ A)(y).

Ukážeme ještě, že je B ◦ A „naÿ L3. Protože je A(L1) = L2 a B(L2) = L3, je též

(B ◦ A)(L1) = B A(L1)

 = B(L2) = L3.

7.42. Věta. Dva lineární prostory konečné dimenze jsou izomorfní právě tehdy, když se rovnají jejich
dimenze.

Důkaz. Nechť dim L1 = dim L2 = n. Oba lineární prostory jsou izomorfní s R

n podle věty 7.39. Nechť

A : L1 → Rn a B : L2 → Rn jsou izomorfismy. Pak podle věty 7.36 je též B−1 : Rn → L2 izomorfismem
a podle věty 7.41 je (B−1 ◦ A) : L1 → L2 izomorfismus.

Nechť naopak dim L1 6= dim L2. Protože izomorfismus převádí podle věty 7.30 lineárně nezávislé

vektory na lineárně nezávislé vektory, převádí bázi v L1 na bázi v L2. Takové báze pak musejí mít stejný
počet prvků, což je spor s předpokladem dim L1 6= dim L2, takže izomorfismus A : L1 → L2 neexistuje.