Lineární algebra

A(x) = α1 y1 + α2 y2 + · · · + αn yn.

Zobrazení je lineární a splňuje (7.3). Ukážeme, proč. Čísla (α1, α2, . . . , αn) jsou souřadnicemi vektoru x
vzhledem k uspořádané bázi (B). V příkladu 7.25 jsme ukázali, že

je-li

x = (α1, α2, . . . , αn)(B),

y = (β1, β2, . . . , βn)(B),

γ ∈ R,

pak

x + y = (α1 + β1, α2 + β2, . . . , αn + βn)(B),

γ x = (γ α1, γ α2, . . . , γ αn)(B).

Z těchto vlastností okamžitě plyne linearita zobrazení A. Protože souřadnice vektoru bi vzhledem k bázi
(B) jsou všechny nulové s výjimkou i-té souřadnice, která je rovna jedné, platí

A(bi) =

n

X

j=0

j6=i

0 · yj + 1 · yi = yi,

což dokazuje požadovanou vlastnost (7.3).

(2) Jednoznačnost. Nechť ještě B : L1 → L2 je lineární a splňuje vlastnost (7.3). Pak je lineární i

zobrazení (A−B) : L1 → L2. Platí (A−B)(bi) = o, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, protože A i B splňují vlastnost (7.3).
Z linearity zobrazení A − B plyne, že

(A − B)(x) = (A − B)(α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn) =

= α1 (A − B)(b1) + α2 (A − B)(b2) + · · · + αn (A − B)(bn) =

= α1 o + α2 o + · · · + αn o = o.

Vidíme, že zobrazení A − B je nulové na celém definičním oboru, takže A = B.

70

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

7.28. Příklad. Předpokládejme, že A : R3 → R4 je lineární zobrazení. Najdeme vzorec pro výpočet
hodnoty zobrazení A(x1, x2, x3), je-li známo:

A(1, 1, 2) = (1, 0, 1, 0),

A(1, 2, 2) = (2, 0, 2, 0),

A(2, 1, 5) = (1, 2, 2, 1).

Protože jsou vektory (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 1, 5) lineárně nezávislé a jsou tři, tvoří podle poznámky 2.65 bázi
lineárního prostoru R3. Známe hodnoty hledaného zobrazení na bázi R3, takže podle věty 7.27 můžeme
jednoznačně určit hodnoty A i v ostatních bodech definičního oboru. Budeme postupovat stejně, jako
v důkazu věty 7.27.