Lineární algebra

= α (x1 + 2x2, −x2, 2x1 − 3x2) = α A(x1, x2).

7.12. Příklad. Zobrazení A : R4 → R3 definované předpisem A(x1, x2, x3, x4) = (x2 + x3, x3 + 3, 2x1)
není lineární, protože A(0, 0, 0, 0) = (0, 3, 0) a to není nulový vektor v R3. Podle věty 7.10 musí každé
lineární zobrazení zobrazit nulový vektor na nulový vektor.

Pilnější čtenáři si zkusí ověřit, že A není lineární, přímo z definice 7.6 nebo z principu superpozice 7.8.

7.13. Příklad. Nechť L1 je lineární prostor všech diferencovatelných funkcí na R a L2 je lineární prostor
všech funkcí na R. Pak zobrazení A : L1 → L2, které každé funkci z L1 přiřadí její derivaci, je lineární.
Platí totiž

A(f + g) = (f + g)0 = f 0 + g0 = A(f ) + A(g),

A(αf ) = (αf )0 = α f 0 = α A(f ).

Zachování
obalů

7.14. Věta. Nechť A : L1 → L2 je lineární zobrazení, M ⊆ L1. Pak A hM i

 = A(M ).

Důkaz. Nechť y ∈ A hM i

. Pak existuje vektor x ∈ hM i takový, že A(x) = y. Protože x ∈ hM i,

existuje podle definice lineárního obalu konečně mnoho x1, x2, . . . , xi ∈ M takových, že x je lineární
kombinací těchto vektorů. Protože A je lineární, máme podle (7.2)

y = A(x) = A(α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn) = α1 A(x1) + α2 A(x2) + · · · + αn A(xn).

Z tohoto zápisu je patrné, že y ∈

A(M ).

Nechť nyní obráceně y ∈

A(M ). Z definice lineárního obalu plyne, že existuje konečně mnoho

yi ∈ A(M ) takových, že y je lineární kombinací těchto vektorů. Pro každý vektor yi existuje vektor
xi ∈ M takový, že A(xi) = yi. Máme tedy