Lineární algebra

Nechť (x1, x2, x3) je libovolný vektor z R

3. Najdeme souřadnice tohoto vektoru vzhledem k uspořá-

dané bázi (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 1, 5)

:

(x1, x2, x3) = α (1, 1, 2) + β (1, 2, 2) + γ (2, 1, 5).

To vede na soustavu tří rovnic o třech neznámých α, β, γ. Eliminujme její rozšířenou matici:

1 1 2

x1

1 2 1

x2

2 2 5

x3

∼

1 1

2

x1

0 1 −1

x2 − x1

0 0

1

x3 − 2x1

∼

1 0 0

8x1 − x2 − 3x3

0 1 0

−3x1 + x2 + x3

0 0 1

x3 − 2x1

.

Platí tedy

(x1, x2, x3) = (8x1 − x2 − 3x3) · (1, 1, 2) + (−3x1 + x2 + x3) · (1, 2, 2) + (x3 − 2x1) · (2, 1, 5),

A(x1, x2, x3) = A (8x1 − x2 − 3x3) · (1, 1, 2) + (−3x1 + x2 + x3) · (1, 2, 2) + (x3 − 2x1) · (2, 1, 5)

 =

= (8x1 − x2 − 3x3) · A(1, 1, 2) + (−3x1 + x2 + x3) · A(1, 2, 2) + (x3 − 2x1) · A(2, 1, 5) =

= (8x1 − x2 − 3x3) · (1, 0, 1, 0) + (−3x1 + x2 + x3) · (2, 0, 2, 0) + (x3 − 2x1) · (1, 2, 2, 1) =

= (x2, −4x1 + 2x3, −2x1 + x2 + x3, −2x1 + x3).

Zobrazení
lineárně
nezávislých
vektorů

7.29. Věta. Nechť A : L1 → L2 je lineární zobrazení. Pak platí:
(1) Jsou-li x1, x2, . . . , xn lineárně závislé vektory v L1, pak jsou i vektory A(x1), A(x2), . . . , A(xn)
lineárně závislé v L2.
(2) Jsou-li x1, x2, . . . , xn lineárně nezávislé vektory v L1, pak vektory A(x1), A(x2), . . . , A(xn) v L2
nemusí být lineárně nezávislé.

Důkaz. (1) Jsou-li x1, x2, . . . , xn lineárně závislé, pak existuje netriviální lineární kombinace, pro kterou
je