Lineární algebra

α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = o.

Z věty 7.10 a z linearity zobrazení A plyne, že

o = A(o) = A(α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn) = α1 A(x1) + α2 A(x2) + · · · + αn A(xn).

Existuje tedy netriviální lineární kombinace vektorů A(x1), A(x2), . . . , A(xn) rovna nulovému vektoru.

(2) Stačí uvést protipříklad. Nechť A je zobrazení definované v příkladu 7.13, které každé funkci

přiřadí její derivaci. Nenulová konstantní funkce je v L1 lineárně nezávislá, ale zobrazí se na nulovou
funkci, která je samozřejmě lineárně závislá.

7.30. Věta. Nechť A : L1 → L2 je lineární zobrazení. Následující podmínky jsou ekvivalentní:
(1) A je prosté.
(2) def A = 0.
(3) Jsou-li x1, x2, . . . , xn lineárně nezávislé, jsou lineárně nezávislé i vektory A(x1), A(x2), . . . , A(xn).

Důkaz. Ekvivalenci těchto podmínek ověříme tak, že dokážeme (1) ⇒ (2), (2) ⇒ (3) a (3) ⇒ (1).

(1) ⇒ (2): Je-li A prosté, pak podle definice 7.5 pouze jeden prvek z L1 se může zobrazit na nu-

lový prvek z L2. Protože A je lineární, musí tím prvkem být nulový prvek. Platí tedy Ker A = {o},
def A = dim Ker A = 0.

(2) ⇒ (3): Ověříme lineární nezávislost vektorů A(x1), A(x2), . . . , A(xn). Položíme proto

α1 A(x1) + α2 A(x2) + · · · + αn A(xn) = o

71

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

a vyzkoumáme, co z toho plyne pro koeficienty α1, α2, . . . , αn. Z linearity zobrazení A plyne

o = α1 A(x1) + α2 A(x2) + · · · + αn A(xn) = A(α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn).

Podle definice jádra zobrazení 7.16 je tedy (α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn) ∈ Ker A. Podle předpokladu (2)
jádro obsahuje pouze nulový vektor, tj.