Lineární algebra

Ukážeme, že A−1 je „naÿ L1. Každý prvek a ∈ L1 je zobrazením A převeden na nějaký prvek

A(a) = x ∈ L2. Jinými slovy neexistuje prvek a ∈ L1, který by neměl svůj protějšek A(a) = x ∈ L2.

72

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

Izomorfismus

7.37. Definice. Zobrazení A : L1 → L2 nazýváme izomorfismus, pokud je lineární, prosté a „naÿ L2.

Lineární prostor L1 nazýváme izomorfní s L2, pokud existuje izomorfismus A : L1 → L2. Protože

k prostému lineárnímu zobrazení, které je „naÿ L2, existuje inverzní zobrazení A

−1 : L

2 → L1, které je

podle věty 7.36 rovněž izomorfismem, platí: je-li L1 izomorfní s L2, je též L2 izomorfní s L1. Často proto
říkáme, že L1 a L2 jsou (vzájemně) izomorfní.

7.38. Poznámka. Izomorfismus A : L1 → L2 převádí podle věty 7.30 lineárně nezávislé vektory v L1
na lineárně nezávislé vektory v L2. Protože je lineární, pak přenáší i další pojmy „linearityÿ z L1 do L2:
lineární závislost (věta 7.29), lineární obaly (věta 7.14), podprostory (poznámka 7.15) a báze. Jsou-li L1
a L2 izomorfní, je tedy jedno, zda při vyšetřování „lineárních záležitostíÿ se pohybujeme v L1 nebo v L2.
Veškeré struktury přeneseme prostřednictvím izomorfismu do takového lineárního prostoru, se kterým se
nám lépe pracuje. Z tohoto pohledu je pro nás důležitá následující věta.

7.39. Věta. Každý lineární prostor L, pro který je dim L = n, je izomorfní s lineárním prostorem Rn.

Důkaz. Protože dim L = n, existuje konečná báze {b1, b2, . . . , bn} lineárního prostoru L. Uspořádejme
tuto bázi a označme ji (B). Příklad 7.25 ukazuje, že zobrazení A : L → Rn, které každému prvku x ∈ L
přiřadí jeho souřadnice vzhledem k bázi (B), je lineární, je „naÿ Rn a platí pro ně def A = 0. Podle
věty 7.30 je toto zobrazení prosté, takže podle definice 7.37 jde o izomorfismus.