Lineární algebra

γ x = (γ α1) b1 + (γ α2) b2 + · · · + (γ αn) bn.

Protože souřadnice vektoru vzhledem k bázi jsou určeny jednoznačně, z uvedených rovností plyne, že
A(x + y) = A(x) + A(y), A(γ x) = γ A(x). Zobrazení A je tedy lineární.

Hledejme nyní Ker A. Z jednoznačnosti souřadnic vzhledem k bázi plyne, že existuje jediný vektor

x = (0, 0, . . . , 0)(B). Protože o = 0 b1 + 0 b2 + · · · + 0 bn, je x = o. Ker A = {o} a def A = 0.

Protože ke každému prvku a ∈ Rn, a = (α1, α2, . . . , αn) existuje x ∈ L, pro který A(x) = a (stačí

volit x = α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn), je A(L) = R

n. Zobrazení A je tedy zobrazením z L „naÿ Rn. Je

hod A = dim Rn = n.

Lineární
zobrazení
na bázi

7.26. Poznámka. Následující věta ukazuje, že pokud známe hodnoty zobrazení A : L1 → L2 jen na
bázi lineárního prostoru L1 a toto zobrazení má být lineární, pak jsou již známy jeho hodnoty na celém
prostoru L1. Jinými slovy, lineární zobrazení je určeno jednoznačně svými hodnotami na bázi L1.

7.27. Věta. Nechť {b1, b2, . . . , bn} je báze lineárního prostoru L1 a nechť jsou dány libovolné vektory
y1, y2, . . . , yn z lineárního prostoru L2. Pak existuje právě jedno lineární zobrazení A : L1 → L2, pro
které platí

A(bi) = yi,

∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.

(7.3)

Důkaz. (1) Existence. Nechť x ∈ L1. Protože {b1, b2, . . . , bn} je báze L1, existují koeficienty αi ∈ R
takové, že x = α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn. Hodnotu zobrazení A v bodě x nyní definujeme takto: