Lineární algebra

y = β1 y1 + β2 y2 + · · · + βm ym = β1 A(x1) + · · · + βm A(xm) = A(β1 x1 + β2 x2 + · · · + βm xm) = A(x).

Je tedy x ∈ hM i a protože y = A(x), je též y ∈ A hM i

.

7.15. Poznámka. Věta 7.14 má tento důsledek: Je-li M ⊆ L1 lineární podprostor v L1, pak A(M )
je lineární podprostor v L2. Stačí si uvědomit platnost věty 2.37. Lineární zobrazení nám tedy převádí
podprostory na podprostory.

Jádro
zobrazení

7.16. Definice. Nechť L1, L2 jsou lineární prostory, o2 je nulový vektor v lineárním prostoru L2 a
A : L1 → L2 je lineární zobrazení. Množinu

Ker A = {x ∈ L1; A(x) = o2}

nazýváme jádrem lineárního zobrazení A.

68

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

7.17. Příklad. Uvažujme zobrazení definované v příkladu 7.13, které každé funkci přiřadí její derivaci.
Jádrem tohoto zobrazení je množina všech konstantních funkcí, protože to jsou právě všechny funkce,
které po zderivování dávají nulovou funkci.

7.18. Příklad. Najdeme jádro zobrazení A z příkladu 7.11. Podle definice jádra je

Ker A =

(x1, x2); A(x1, x2) = (0, 0, 0)  = (x1, x2); (x1 + 2x2, −x2, 2x1 − 3x2) = (0, 0, 0) .

To vede na homogenní soustavu tří rovnic o dvou neznámých. V tomto příkladě má tato soustava jen
nulové řešení, takže máme

Ker A =

(0, 0) .

7.19. Věta. Jádro lineárního zobrazení A : L1 → L2 tvoří lineární podprostor lineárního prostoru L1.

Důkaz. Především je Ker A neprázdná množina, protože podle věty 7.10 obsahuje tato množina nulový
vektor. Podle definice 1.17 máme dokázat (1) je-li x ∈ Ker A, y ∈ Ker A, pak též x + y ∈ Ker A a (2) je-li
x ∈ Ker A, α ∈ R, pak je α x ∈ Ker A. Předpoklady podle definice 7.16 říkají A(x) = A(y) = o2 a
máme dokázat, že A(x + y) = o2, A(α x) = o2. Podle definice 7.6 lineárního zobrazení platí