Lineární algebra

A(x + y) = A(x) + A(y) = o2 + o2 = o2,

A(α x) = α A(x) = α o2 = o2.

7.20. Věta. Množina A(L1) všech hodnot lineárního zobrazení A : L1 → L2 tvoří lineární podprostor
lineárního prostoru L2.

Důkaz. Množina L1 je sama v sobě podprostorem. Podle věty 7.14 a poznámky 7.15 musí být lineárním
podprostorem i množina A(L1).

Defekt a
hodnost
zobrazení

7.21. Definice. Defekt lineárního zobrazení A : L1 → L2 je definován, jako dim Ker A a hodnost lineár-
ního zobrazení A je definována jako dim A(L1). Defekt A značíme def A a hodnost A značíme hod A. Je
tedy

def A = dim Ker A,

hod A = dim A(L1).

7.22. Poznámka. Předchozí dvě věty zaručují smysluplnost definice defektu a hodnosti: Ker A a A(L1)
jsou lineární podprostory. Defekt zobrazení udává zhruba řečeno „vzdálenostÿ zobrazení od ideálního
prostého zobrazení. Jak moc je zobrazení A „defektníÿ souvisí také s tím, kolik informace, které dovedeme
v prostoru L1 rozlišit, se stává po aplikaci zobrazení A v prostoru L2 nerozlišitelné.

7.23. Příklad. Defekt zobrazení A definovaného v příkladu 7.13, které přiřazuje derivaci, je roven jedné.
Je totiž množina konstantních funkcí lineárním podprostorem množiny všech funkcí, přitom báze tohoto
podprostoru je libovolná jedna nenulová konstantní funkce. Proto je dimenze tohoto podprostoru rovna
jedné.

Hodnost tohoto zobrazení A je rovna nekonečnu, protože A(L1) obsahuje určitě všechny polynomy

a o lineárním prostoru všech polynomů jsme si řekli v příkladu 2.47, že má nekonečnou bázi.

7.24. Příklad. Zobrazení A : R2 → R3, A(x1, x2) = (x1 + 2x2, −x2, 2x1 − 3x2) z příkladu 7.11 má
defekt roven nule. V příkladu 7.18 jsme totiž ukázali, že Ker A = {o1}.