Lineární algebra

(0, 1, 1, 0) = α (1, 1, 1, 1) + β (1, 2, 1, 1) + γ (1, 1, 2, 1) + δ (1, 3, 2, 3).

To vede na nehomogenní soustavu lineárních rovnic, jejíž rozšířená matice je

1 1 1 1

0

1 2 1 3

1

1 1 2 2

1

1 1 1 3

0

∼

1 1 1 1

0

0 1 0 2

1

0 0 1 1

1

0 0 0 1

0

∼

1 0 0 0 −2
0 1 0 0

1

0 0 1 0

1

0 0 0 1

0

,

výsledek: x = (−2, 1, 1, 0)(B).

Pro nalezení souřadnic vektoru x vzhledem k bázi (C) využijeme právě spočítaného výsledku a věty 6.23.

1

0

0 −1

2

1

1 −2

0

0

1 −1

1

0

1 −3

·

−2

1
1
0

=

−2
−2

1

−1

,

výsledek: x = (−2, −2, 1, −1)(C).

66

7. Lineární zobrazení

7.1. Poznámka. Než se pustíme do definice pojmu lineární zobrazení, bude užitečné si zopakovat, co
to je vůbec zobrazení a jeho základní vlastnosti.

Definice
zobrazení

7.2. Definice. Nechť L1 a L2 jsou libovolné množiny. Zobrazením A z množiny L1 do množiny L2
rozumíme jakýkoli předpis, který každému prvku z množiny L1 přiřadí jednoznačným způsobem nějaký
prvek z množiny L2. Skutečnost, že A je zobrazení z množiny L1 do množiny L2 zapisujeme A : L1 → L2.

Je-li x ∈ L1, pak zobrazení A : L1 → L2 přiřadí prvku x jednoznačně nějaký prvek z množiny L2.

Tento prvek označujeme symbolem A(x) ∈ L2 a říkáme mu hodnota zobrazení A v bodě x. Je-li M ⊆ L1,
pak definujeme

A(M ) =

y ∈ L2; ∃x ∈ M tak, že A(x) = y .

Zobrazení
„naÿ

7.3. Definice. Nechť L1 a L2 jsou libovolné množiny a uvažujme A : L1 → L2. Pokud platí A(L1) = L2,
říkáme, že A je zobrazení z množiny L1 na množinu L2 (nebo říkáme, že zobrazení je surjektivní).

7.4. Poznámka. Zobrazení A z množiny L1 na množinu L2 je speciální případ zobrazení z množiny L1
do množiny L2 (všimneme si rozdílnosti slůvek „doÿ a „naÿ). Může se stát, že existují prvky y ∈ L2,
pro které neexistuje žádný prvek x ∈ L1, který by splňoval A(x) = y. V takovém případě zobrazení A
není na množinu L2. Lidově řečeno, množina L2 je v takovém případě „většíÿ, než množina všech hodnot
zobrazení A.