Lineární algebra

nější použít definici pojmu souřadnice vzhledem k bázi a maticemi přechodu si zbytečně nekomplikovat
život. Jakmile ale budeme potřebovat převádět souřadnice většího množství vektorů, pak se vyplatí najít
odpovídající matici přechodu.

V příkladu 6.15 jsme vlastně nevědomky použili matici přechodu A(B

0 ,B) . Byla to matice soustavy

lineárních rovnic, pro kterou jsme hledali řešení.

Přechod od
báze (B)
přes (C)
k (D)

6.27. Věta. Nechť A(B,C) je matice přechodu od báze (B) k bázi (C) a A(C,D) je matice přechodu od
báze (C) k bázi (D). Pak pro matici přechodu A(B,D) od báze (B) k bázi (D) platí

A(B,D) = A(B,C) · A(C,D).

Důkaz. Podle definice matice přechodu 6.18 je (B) · A(B,C) = (C), (C) · A(C,D) = (D). Vynásobíme-li
první rovnost maticí A(C,D) zprava, dostáváme

(B) · A(B,C) · A(C,D) = (C) · A(C,D) = (D).

Sestavení
matic
přechodu

6.28. Poznámka. Na závěr této kapitoly se pokusíme ukázat metodu, jak sestavit matici přechodu,
jsou-li dány uspořádané báze (B) a (C) v Rn. Nejprve si všimneme, jaká je souvislost mezi složkami
vektorů z Rn a jejich souřadnicemi.

6.29. Věta. Nechť a ∈ Rn, a = (α1, α2, . . . , αn). Složky (α1, α2, . . . , αn) jsou souřadnicemi vektoru a
vzhledem ke standardní bázi (S):

(S) = (1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)

.

Důkaz. Pro vektor a ∈ Rn platí

a = α1 (1, 0, 0, . . . , 0) + α2 (0, 1, 0, . . . , 0) + · · · + αn (0, 0, 0, . . . , 1).

V souladu s definicí 6.10 jsou tedy složky (α1, α2, . . . , αn) souřadnicemi vektoru a vzhledem k bázi (S).