Lineární algebra

Význam pojmu souřadnice vzhledem k bázi je tedy v tom, že stačí v libovolném lineárním prostoru

konečné dimenze (například polynomů nejvýše k-tého stupně, matic, . . . ) stanovit jednu uspořádanou
bázi a pak popsat každý takový prvek uspořádanou n-ticí reálných čísel.

V následující kapitole o lineárních zobrazeních ukážeme, že zobrazení z L na Rn, které přiřazuje

každému prvku z L jeho souřadnice vzhledem k pevně zvolené uspořádané bázi, je tzv. izomorfismus. To
znamená, že veškeré vlastnosti linearity (součty, násobky, lineární závislosti a nezávislosti, podprostory,
lineární obaly atd.) se tímto zobrazením „přenášejíÿ z prostoru L na důvěrně známý lineární prostor Rn.
Stačí tedy tyto vlastnosti studovat v Rn a výsledky případně „zpětně přenéstÿ pomocí inverzního zob-
razení do L.

62

Lineární algebra

6. Více o lineárních prostorech konečné dimenze

6.15. Příklad. Nechť L je lineární prostor polynomů nejvýše třetího stupně. Najdeme souřadnice poly-
nomu p ∈ L, p(x) = 2x3 + x2 − 3x vzhledem k uspořádané bázi (B) = x + 1, x − 1, (x + 1)2, (x + 1)3

.

Nevěřící Tomášové by nejprve měli ověřit, zda je B skutečně bází lineárního prostoru L, tj. zda platí

vlastnosti (1) a (2) z definice 2.42. Položili by následující lineární kombinaci rovnu nulovému polynomu:

α (x + 1) + β (x − 1) + γ (x + 1)

2 + δ (x + 1)3 = δ x3 + (γ + 3δ) x2 + (α + β + 2γ + 3δ) x + α − β + γ + δ = 0

a zkoumali by, za jakých okolností lze rovnost splnit. Polynom je nulový jen tehdy, když jsou nulové
všechny jeho koeficienty, což vede na homogenní soustavu čtyř rovnic o neznámých α, β, γ, δ. Tu by
Tomášové vyřešili, zjistili by, že má pouze nulové řešení, a proto jsou dané polynomy z množiny B
lineárně nezávislé. Dále by Tomášové použili vlastnost (3) věty 2.64 a prohlásili, že když množina B
je lineárně nezávislá a obsahuje stejný počet vektorů, jako je dimenze prostoru (podle příkladu 2.48 je
dim L = 4), pak musí hBi = L. Tím by zjistili, že B je báze lineárního prostoru L.