Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Platí M ∨ N = hM ∪ N i = hbáze M ∪ báze N i, takže bázi tohoto podprostoru najdeme eliminací
následující matice:
M ∨ N :
1 2 0 1 1
0 1 1 2 3
0 0 3 3 5
1 1 3 4 3
0 1 1 2 3
0 0 1 2 0
∼
1
2 0 1 1
0
1 1 2 3
0
0 3 3 5
0 −1 3 3 2
0
0 1 2 0
∼
1 2 0 1 1
0 1 1 2 3
0 0 3 3 5
0 0 4 5 5
0 0 1 2 0
∼
1 2 0
1 1
0 1 1
2 3
0 0 3
3 5
0 0 0 −3 5
0 0 0 −3 5
∼
1 2 0
1 1
0 1 1
2 3
0 0 3
3 5
0 0 0 −3 5
,
báze M ∨ N :
(1, 2, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 2, 3), (0, 0, 3, 3, 5), (0, 0, 0, −3, 5) ,
dim(M ∨ N ) = 4.
Podle věty 6.6 máme okamžitě dimenzi průniku:
dim(M ∩ N ) = dim M + dim N − dim(M ∨ N ) = 3 + 3 − 4 = 2,
bohužel nalezení báze průniku dá ještě trochu práce. Vektory společné oběma podprostorům musí jít
zapsat jako lineární kombinace báze M i lineární kombinace báze N :
α (1, 2, 0, 1, 1) + β (0, 1, 1, 2, 3) + γ (0, 0, 3, 3, 5) = a (1, 1, 3, 4, 3) + b (0, 1, 1, 2, 3) + c (0, 0, 1, 2, 0).
(6.1)
Z tohoto požadavku nám vychází soustava pěti rovnic o šesti neznámých α, β, γ, a, b, c. Eliminujeme
matici této homogenní soustavy.
1
0
0 −1
0
0
2
1
0 −1 −1
0
0
1
3 −3 −1 −1
1
2
3 −4 −2 −2
1
3
5 −3 −3
0
∼
1
0
0 −1
0
0
0
1
0
1 −1
0
0
1
3 −3 −1 −1
0
2
3 −3 −2 −2
0
3
5 −2 −3
0
∼ · · · ∼
1
0
0 −1
0
0
0
1
0
1 −1
0
0
0
3 −4
0 −1
0
0
0
1
0
1
.
Volíme b = t, c = u, pak vychází a = −u. Ostatní hodnoty proměnných nemusíme počítat a vrátíme se
k pravé straně rovnosti (6.1). Vektory, které jsou společné oběma prostorům, musejí tedy splňovat: