Lineární algebra

(b1, b2, . . . , bn) · A = (c1, c2, . . . , cn)

(6.2)

nazýváme maticí přechodu od uspořádané báze (B) k uspořádané bázi (C). Na definiční rovnost (6.2) se
díváme jako na součin jednořádkové matice vektorů (b1, b2, . . . , bn) s maticí A reálných čísel typu (n, n),
který se má rovnat jednořádkové matici vektorů (c1, c2, . . . , cn).

Matici přechodu od báze (B) k bázi (C) budeme často pro názornost označovat A(B,C).

6.19. Věta. Pro každé dvě uspořádané báze stejného lineárního prostoru (B) a (C) existuje právě jedna
regulární matice přechodu A(B,C).

Důkaz. Podle definice maticového součinu a podle (6.2) je

c1 = a1,1 b1 + a2,1 b2 + · · · + an,1 bn,

kde a1,1, a2,1, . . . , an,1 jsou prvky prvního sloupce matice A(B,C). První sloupec matice tedy obsahuje
souřadnice vektoru c1 vzhledem k bázi (B). Podobná vlastnost platí pro ostatní vektory ci, tedy i-tý
sloupec matice A(B,C) obsahuje souřadnice vektoru ci vzhledem k bázi (B). To je návod, jak sestrojit
hledanou matici. Matice tedy existuje a sloupce této matice jsou podle věty 6.12 určeny jednoznačně.

Ukážeme ještě, že matice A(B,C) je regulární matice. Sloupce této matice musejí být lineárně nezá-

vislé, protože tyto sloupce jsou násobeny stejnou jednořádkovou maticí (b1, b2, . . . , bn), a přitom tímto
násobením mají vzniknout lineárně nezávislé vektory c1, c2, . . . , cn. Protože jsou sloupce matice A(B,C)
lineárně nezávislé, tj. hod AT

(B,C) = hod A(B,C) = n, je matice přechodu regulární.

63

Lineární algebra

6. Více o lineárních prostorech konečné dimenze

6.20. Poznámka. Transponujeme-li obě strany rovnosti (6.2), dostáváme maticovou rovnost