Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
A(B,C) ·
y1
..
.
yn
=
x1
..
.
xn
.
(6.3)
Důkaz. Věta je důsledkem věty o maticích lineárního zobrazení. Důkaz proto odložíme do následující
kapitoly. Viz poznámku 7.58 v kapitole o lineárních zobrazeních.
6.24. Poznámka. Vzorec (6.3) si lze pamatovat takto:
A(B,C) ·
souřadnice
vzhledem
k bázi (C)
=
souřadnice
vzhledem
k bázi (B)
.
Vidíme, že matice přechodu od (B) k (C) umožňuje počítat maticovým násobením souřadnice vzhledem
k bázi (B), pokud známe souřadnice vzhledem k bázi (C). Matice přechodu tedy převádí souřadnice
přesně obráceně, než by vyplývalo z jejího názvu.
64
Lineární algebra
6. Více o lineárních prostorech konečné dimenze
6.25. Příklad. Vraťme se k bázím (B) =
x + 1, x − 1, (x + 1)2, (x + 1)3
a (B0) = (1, x, x
2, x3)
z předchozího příkladu. Polynom p ∈ L, p(x) = 2x3 + x2 − 3x má podle příkladu 6.16 souřadnice
p = (0, −3, 1, 2)(B
0 ) . Uvažujme ještě polynom q ∈ L daný vzorcem q(x) = x
2 + 5, ∀x ∈ R. Polynom q
má tedy souřadnice q = (5, 0, 1, 0)(B
0 ) .
Za použití matice přechodu najdeme souřadnice polynomů p a q vzhledem k bázi (B).
Matici přechodu A(B,B
0 ) jsme spočítali v příkladu 6.22. Nyní použijeme vzorec (6.3):
1
2
1
2 −
3
2
5
2
− 1
2
1
2 −
1
2
1
2
0
0
1 −3
0
0
0
1
·
0
−3
1
2
=
2
−1
−5
2
,
1
2
1
2 −
3
2
5
2
− 1
2
1
2 −
1
2
1
2
0
0
1 −3
0
0
0
1
·
5
0
1
0
=
1
−3
1
0
.
Máme tedy výsledek: p = (2, −1, −5, 2)(B), q = (1, −3, 1, 0)(B).
6.26. Poznámka. Všimneme si, že jsme souřadnice polynomu p vzhledem k bázi (B) spočítali už
v příkladu 6.15 bez použití matice přechodu. Stačilo nám rozepsat definici souřadnic vzhledem k bázi.
Pokud potřebujeme zjistit souřadnice jediného vektoru vzhledem k nějaké bázi, pak je zřejmě účel-