Lineární algebra

Nyní najdeme souřadnice polynomu p vzhledem k bázi (B). Podle definice 6.10 má pro souřadnice

(α, β, γ, δ) platit

2x

3 + x2 − 3x = α (x + 1) + β (x − 1) + γ (x + 1)2 + δ (x + 1)3,

po úpravě:

2x

3 + x2 − 3x = δ x3 + (γ + 3δ) x2 + (α + β + 2γ + 3δ) x + α − β + γ + δ.

Po porovnání jednotlivých koeficientů u polynomů na levé a pravé straně rovnosti dostáváme soustavu
rovnic

α − β +

γ +

δ =

0

α + β + 2γ + 3δ = − 3

γ + 3δ =

1

δ =

2

Soustava má jediné řešení α = 2, β = −1, γ = −5, δ = 2. Zapíšeme výsledek: p = (2, −1, −5, 2)(B).

6.16. Příklad. Uvažujme stejný lineární prostor L jako v předchozím příkladě a v něm stejný polynom
p ∈ L, p(x) = 2x3 + x2 − 3x. Vzhledem ke standardní uspořádané bázi B0 = (1, x, x

2, x3) má polynom

souřadnice shodné se svými koeficienty, tedy

p = (0, −3, 1, 2)(B

0 ) .

Platí totiž p(x) = 0 · 1 + (−3) · x + 1 · x2 + 2 · x3.

Matice
přechodu

6.17. Poznámka. Předchozí dva příklady ilustrují skutečnost, že souřadnice vektoru vzhledem k uspo-
řádané bázi jsou závislé na volbě uspořádané báze. Budeme se setkávat s úlohou, kdy jsou dány dvě
různé uspořádané báze stejného lineárního prostoru a budeme znát souřadnice nějakého vektoru vzhle-
dem k jedné bázi. Bude potřeba najít souřadnice téhož vektoru vzhledem ke druhé bázi. K tomu slouží
tzv. matice přechodu.

6.18. Definice. Nechť (B) = (b1, b2, . . . , bn) a (C) = (c1, c2, . . . , cn) jsou dvě uspořádané báze stejného
lineárního prostoru L. Matici A, která splňuje maticovou rovnost