Lineární algebra

Dimenze
průniku a
spojení

6.6. Věta. Nechť L je lineární prostor konečné dimenze, M a N jsou jeho podprostory. Pak

dim M + dim N = dim(M ∩ N ) + dim(M ∨ N ).

Důkaz (pro hloubavé čtenáře). Nechť dim M = m, dim N = n, dim(M ∩ N ) = k. Nechť b1, b2, . . . , bk je
báze podprostoru M ∩ N . Vzhledem k tomu, že M ∩ N ⊆ M , lze lineárně nezávislé vektory b1, b2, . . . , bk
doplnit o další prvky, aby dohromady tvořily bázi v M . Viz větu 2.51. Podobně lze doplnit b1, b2, . . . , bk
o další prvky, aby tvořily bázi v N . Máme tedy

báze M ∩ N :

{b1, b2, . . . , bk},

báze M :

{b1, b2, . . . , bk, ck+1, . . . , cm},

báze N :

{b1, b2, . . . , bk, dk+1, . . . , dn}.

Za této situace je množina B = {b1, b2, . . . , bk, ck+1, . . . , cm, dk+1, . . . , dn} bází podprostoru M ∨ N .
Zdůvodníme proč.

Ukážeme nejdříve, že hBi = M ∨ N . Protože B ⊆ M ∪ N , je hBi ⊆ hM ∪ N i = M ∨ N . Nyní

ukážeme obrácenou inkluzi. Je-li x ∈ M ∨ N , pak podle věty 6.5 existují vektory y ∈ M a z ∈ N
takové, že x = y + z. Vektor y lze zapsat jako lineární kombinaci prvků báze M a vektor z jako lineární
kombinaci prvků báze N . Proto je vektor x lineární kombinací prvků množiny B a máme dokázánu
obrácenou inkluzi M ∨ N ⊆ hBi.

Nyní ukážeme, že B je lineárně nezávislá množina. Množina {b1, b2, . . . , bk, ck+1, . . . , cm} je lineárně

nezávislá, protože je bází prostoru M . Množina {dk+1, . . . , dn} je také lineárně nezávislá, protože je
podmnožinou báze prostoru N . Navíc pro všechny prvky di, i ∈ {k + 1, . . . , n} platí, že neleží v M ,
tedy di 6∈ hb1, b2, . . . , bk, ck+1, . . . , cmi. Přidáním těchto prvků k vektorům b1, b2, . . . , bk, ck+1, . . . , cm
zůstává rozšířená množina podle věty 2.39 lineárně nezávislá.