Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(−1, 0, 1).
p = 2 :
1 2 1
1
1 2 1
−1
0 1 2 −1
∼
1 2 1
1
0 0 0 −1
,
podle Frobeniovy věty soustava pro p = 2 nemá řešení.
57
Lineární algebra
5. Soustavy lineárních rovnic
Dodatky
k řešení
soustav
5.33. Poznámka. Existuje ještě jeden přístup, jak lze hledat bázi prostoru řešení homogenní soustavy.
Tento přístup se může hodit při strojovém zpracování a opírá se o následující větu.
5.34. Věta. Nechť homogenní soustava lineárních rovnic Ax = o má matici soustavy ve tvaru
A = (E|C),
kde E je jednotková matice typu (m, m) a C je libovolná matice typu (m, k). Pak existuje báze řešení
této soustavy b1, b2, . . . , bk, která má tvar:
b1
b2
..
.
bk
= (−C
T |E0),
kde E0 je jednotková matice typu (k, k).
Důkaz. Nejprve překontrolujeme rozměry matic. Nechť počet neznámých soustavy je n, takže matice
soustavy A je typu (m, n). Počet sloupců n této matice se skládá z m sloupců (matice E) a k sloupců
(matice C). Je tedy n = m + k. Dimenze prostoru řešení je podle věty 5.14 rovna počtu neznámých
minus hod A, což je n − m = k. To sedí. Skutečně matice B = (−CT |E0) má k řádků a tyto jsou lineárně
nezávislé (díky matici E0). Matice B tedy může obsahovat řádky báze prostoru řešení. Stačí jen ověřit,
že každý řádek matice B řeší soustavu Ax = o. Tj. stačí ověřit, že A · BT = O, kde O je nulová matice
typu (m, k):
A · B
T = (E|C) ·
−C
E0
= E · (−C) + C · E
0 = −C + C = O.
5.35. Poznámka. Tato věta nám umožňuje rovnou napsat bázi řešení homogenní soustavy, pokud je
matice soustavy v uvedeném tvaru. Dokonce, pokud matice soustavy není v uvedeném tvaru, je někdy
možné jí eliminací do tohoto tvaru převést, tj. ekvivalentní soustava může mít tento tvar. Pokud ani
ekvivalentní soustava nemá tento tvar, dá se prohozením pořadí neznámých dospět k požadovanému tvaru
matice soustavy. V takovém případě je ovšem nutné před zapsáním báze prostoru řešení prohodit sloupce
matice B = (−CT |E0) zpět. Místo dlouhého vysvětlování ukážeme použití věty na našem příkladu 5.23,
ovšem budeme řešit jen přidruženou homogenní soustavu.