Lineární algebra

5.36. Příklad. Najdeme bázi prostoru řešení soustavy z příkladu 5.11. Eliminujeme matici soustavy:

1 1 2 3 3 3
1 1 1 3 1 1
2 2 2 6 2 8

∼

1 1

2 3

3

3

0 0 −1 0 −2 −2
0 0 −2 0 −4

2

∼

1 1 2 3 3 3
0 0 1 0 2 2
0 0 0 0 0 6

∼

1 1 2 3 3 3
0 0 1 0 2 2
0 0 0 0 0 1

.

Eliminujeme dále zpětným chodem, abychom ve sloupcích 1, 3 a 6 dostali jednotkové vektory:

1 1 2 3 3 3
0 0 1 0 2 2
0 0 0 0 0 1

∼

1 1 2 3 3 0
0 0 1 0 2 0
0 0 0 0 0 1

∼

1 1 0 3 −1 0
0 0 1 0

2 0

0 0 0 0

0 1

.

Prohodíme druhý sloupec s třetím a poslední sloupec s novým třetím (měníme pořadí proměnných)

1 0 0 3 −1 1
0 1 0 0

2 0

0 0 1 0

0 0

a dostáváme matici podle předpokladu věty 5.34. Bázi řešení soustavy s takovou maticí můžeme podle
této věty zapsat do matice, kde každý řádek obsahuje jeden bázický vektor:

−3

0 0 1 0 0

1 −2 0 0 1 0

−1

0 0 0 0 1

.

Zpětně přehodíme poslední sloupec s třetím a druhý s novým třetím a dostáváme matici, obsahující (po
řádcích) bázi řešení původní soustavy

−3 0

0 1 0 0

1 0 −2 0 1 0

−1 1

0 0 0 0

.

58

Lineární algebra

5. Soustavy lineárních rovnic

Soustava
lineárních
soustav

5.37. Poznámka. Doc. Krajník ve svých skriptech o maticích [14] hned z kraje uvádí jednoduchý
postřeh, který, když si uvědomíme, můžeme mít život s lineární algebrou snadnější. Násobíme-li matice
A · X = B, pak sloupce matice B obsahují výsledky násobení A · odpovídající sloupec matice X.

Uvažujme maticovou rovnost AX = B, ve které jsou dány matice A a B a hledáme matici X.

Označme B = (bT