Lineární algebra

5.27. Příklad. Prověříme, zda množina

M1 = (1, 2, −4, −1, 1, 2) +

(7, 1, −4, −2, 2, 0), (−8, 3, −2, 2, 1, 0), (2, −2, −6, 1, 3, 0)

je rovna množině M z příkladu 5.24.

Díky tomu, že naše řešení z příkladu 5.24 obsahuje na pozicích 2, 4 a 5 systematicky rozmístěné nuly

a jedničky, můžeme okamžitě pohledem do těchto pozic psát následující koeficienty lineárních kombinací:

(7, 1, −4, −2, 2, 0) =

1 (−1, 1, 0, 0, 0, 0) − 2 (−3, 0, 0, 1, 0, 0) + 2 (1, 0, −2, 0, 1, 0),

(−8, 3, −2, 2, 1, 0) =

3 (−1, 1, 0, 0, 0, 0) + 2 (−3, 0, 0, 1, 0, 0) + 1 (1, 0, −2, 0, 1, 0),

(2, −2, −6, 1, 3, 0) = −2 (−1, 1, 0, 0, 0, 0) + 1 (−3, 0, 0, 1, 0, 0) + 3 (1, 0, −2, 0, 1, 0),

(1, 2, −4, −1, 1, 2) = (−1, 0, −2, 0, 0, 2) + 2 (−1, 1, 0, 0, 0, 0) − 1 (−3, 0, 0, 1, 0, 0) + 1 (1, 0, −2, 0, 1, 0).

Tyto rovnosti platí i v ostatních složkách (nejen ve složkách 2, 4 a 5) a můžeme tedy prohlásit, že
M1 = M .

Pro porovnání zkusíme ještě metodu počítání hodnosti matice C z poznámky 5.26. Nejprve mu-

síme ověřit, zda jsou vektory (7, 1, −4, −2, 2, 0), (−8, 3, −2, 2, 1, 0), (2, −2, −6, 1, 3, 0) lineárně nezávislé
(například eliminací třířádkové matice obsahující tyto vektory). Zjistíme, že jsou lineárně nezávislé. Pak
spočítáme hodnost matice C:

C

T =

−1 −3

1

7 −8

2 −2

1

0

0

1

3 −2 −2

0

0 −2 −4 −2 −6

2

0

1

0 −2

2

1

1

0

0

1

2

1

3 −1

0

0

0

0

0

0

0

∼

−1 −3

1

7 −8

2 −2

0 −3

1

8 −5

0 −4

0

1

0 −2

2

1

1

0

0 −2 −4 −2 −6