Lineární algebra

sloupce matice odpovídají proměnným, které budeme z rovnic počítat (většinou podle prvního nenu-
lového prvku v každém řádku). Ostatní sloupce označíme i1, i2, . . . , ik jako v důkazu věty 5.13.

Nechť c ∈ Rk je vektor hodnot řešení ve složkách i1, i2, . . . , ik. Volíme nejprve c = (0, 0, . . . , 0)

a dopočítáme z rovnic ostatní složky řešení. Dostáváme partikulární řešení v. Dále zaměníme vektor
pravých stran za nulový vektor (přecházíme k přidružené homogenní soustavě). Volíme postupně

c = (1, 0, . . . , 0),

c = (0, 1, . . . , 0),

. . . ,

c = (0, 0, . . . , 1)

(5.4)

a pro každé takové zadání vektoru c dopočítáme ostatní složky vektoru řešení. Dostáváme tak postupně
vektory u1, u2, . . . , uk. Množinu všech řešení pak můžeme zapsat stejně, jako ve vzorci (5.3).

5.22. Poznámka. Na malých modelových příkladech (soustavy s malým počtem rovnic a neznámých)
většinou nemusíme použít strojové zpracovámí a můžeme řešení počítat „ručněÿ. Pak se jeví výhodnější
zavést parametry a vytknout je (podobně jako v příkladu 5.11) a nedělat při výpočtu zbytečné přechody
na přidruženou homogenní soustavu. Oba dva přístupy (strojový i lidský) si ukážeme na následujícím
příkladě.

5.23. Příklad. Najdeme množinu všech řešení soustavy lineárních rovnic se šesti neznámými:

x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + 3x5 + 3x6 =

1

x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 + x6 = − 1

2x1 + 2x2 + 2x3 + 6x4 + 2x5 + 8x6 =

10

Eliminujeme rozšířenou matici soustavy.

1 1 2 3 3 3

1

1 1 1 3 1 1

−1

2 2 2 6 2 8

10

∼

1 1

2 3

3

3

1

0 0 −1 0 −2 −2

−2

0 0 −2 0 −4