Lineární algebra

plyne přímo z definice báze 2.42.

5.14. Věta. Nechť M0 je lineární prostor všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic A x = o
s n neznámými. Pak dim M0 = n − hod A.

Důkaz. Věta je přímým důsledkem předchozí věty.

5.15. Poznámka. Nechť n je počet neznámých homogenní soustavy A x = o. Pak z věty 5.14 plyne
tento důsledek:

hod A = n

pak soustava má jen nulové řešení,

hod A < n

pak soustava má nekonečně mnoho řešení.

5.16. Poznámka. Když jsme procvičovali definici lineární závislosti a nezávislosti (viz příklady za
definicí 2.7 a 2.9), zadání vždy vedlo na homogenní soustavu lineárních rovnic, která má vždy aspoň
nulové řešení. V příkladech šlo o to, zda soustava má i jiné než nulové řešení, tj. zda hodnost matice
soustavy je menší než počet neznámých.

Řešení ne-
homogenní
soustavy

5.17. Definice. Nechť A x = b je nehomogenní soustava lineárních rovnic o n neznámých a v ∈ Rn je
nějaké jedno její řešení. Takovému řešení v říkáme partikulární řešení nehomogenní soustavy.

Pokud zaměníme matici b za nulovou matici stejného typu, dostáváme homogenní soustavu A x = o,

kterou nazýváme přidruženou homogenní soustavou k soustavě A x = b.

5.18. Věta. (1) Nechť v je partikulární řešení nehomogenní soustavy A x = b a u je libovolné řešení
přidružené homogenní soustavy A x = o. Pak v + u je také řešením soustavy A x = b.

(2) Nechť v a w jsou dvě partikulární řešení nehomogenní soustavy A x = b. Pak v − w je řešením

přidružené homogenní soustavy A x = o.

Důkaz. Označme (stejně jako v důkazu věty 5.10) symbolem vT jednosloupcovou matici, která obsahuje
složky vektoru v. Analogicky označme uT a wT .
(1) Podle předpokladu platí A vT = b, A uT = o. Pro součet v + u pak platí