Lineární algebra

A (v

T + uT ) = A vT + A uT = b + o = b.

(2) Podle předpokladu platí A vT = b, A wT = b. Pro rozdíl v − w pak platí

A (v

T − wT ) = A vT − A wT = b − b = o.

53

Lineární algebra

5. Soustavy lineárních rovnic

5.19. Věta. Nechť v je partikulární řešení soustavy A x = b a M0 je lineární prostor všech řešení
přidružené homogenní soustavy A x = o. Pak pro množinu M všech řešení soustavy A x = b platí

M =

v + u; u ∈ M0 .

Důkaz. Z vlastnosti (1) věty 5.18 plyne, že {v + u; u ∈ M0} ⊆ M . Stačí dokázat obrácenou inkluzi.
Pokud w ∈ M , pak podle vlastnosti (2) věty 5.18 existuje u = w − v ∈ M0, takže w ∈ {v + u; u ∈ M0}.
Platí tedy i obrácenná inkluze.

5.20. Poznámka. Množinu všech řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic zapisujeme většinou
zjednodušeně jako součet partikulárního řešení a lineárního prostoru všech řešení přidružené homogenní
soustavy takto:

M = v + M0 = v + hu1, u2, . . . , uki.

(5.3)

Řešit nehomogenní soustavu tedy znamená najít partikulární řešení v a dále najít k lineárně nezávislých
řešení přidružené homogenní soustavy u1, u2, . . . , uk (k je rovno počtu neznámých mínus hodnost matice
soustavy). Výsledek je obvyklé psát ve tvaru (5.3).

Strojové
řešení
soustav

5.21. Poznámka. Při strojovém zpracování rozsáhlých soustav většinou jde o to najít jedno partikulární
řešení a bázi prostoru řešení přidružené homogenní soustavy. Přitom není nutné programovat symbolické
výpočty, jako je například vytýkání parametrů podle rovnosti (5.2). Můžeme na to jít jinak.

Nejprve eliminujeme rozšířenou matici soustavy na horní trojúhelníkovou a rozhodneme, které