Lineární algebra

symbolů

x1

..

.

xn

typu (n, 1) a b je matice reálných čísel

b1

..

.

bm

typu (m, 1). Pak maticovou rovnost

A x = b

navýváme soustavou m lineárních rovnic o n neznámých. Matici A nazýváme maticí soustavy a vektor
bT = (b1, . . . , bm) nazýváme vektorem pravých stran. Připíšeme-li k matici soustavy do dalšího sloupce
matici b oddělenou (pouze pro přehlednost) svislou čarou, dostáváme matici (A|b) typu (m, n+1), kterou
nazýváme rozšířenou maticí soustavy.

5.2. Definice. Řešením soustavy A x = b je takový vektor a = (α1, α2, . . . , αn) ∈ R

n, pro který platí:

dosadíme-li hodnoty αi za symboly xi, pak je splněna požadovaná maticová rovnost, tj.

A ·

α1
α2

..

.

αn

=

b1
b2

..

.

bm

.

(5.1)

Řešit soustavu A x = b znamená nalézt všechna její řešení, tj. nalézt podmnožinu Rn všech řešení této
soustavy.

5.3. Poznámka. Všimneme si, že z historických důvodů se v rovnosti A x = b značí jednosloupcové
matice malým písmenem podobně, jako vektory. Často se na tyto matice zjednodušeně díváme jako na
prvky z Rn nebo Rm, jen nesmíme zapomenout, že složky těchto uspořádaných m-tic a n-tic v kontextu
rovnosti A x = b píšeme do sloupce a nikoli do řádku.

Matice x může místo symbolů x1, x2, . . . , xn obsahovat i jiné symboly, například x, y, z.

Frobeniova
věta

5.4. Věta (Frobeniova). Soustava A x = b má řešení právě tehdy, když hod A = hod(A|b), tj. když
hodnost matice soustavy se rovná hodnosti rozšířené matice soustavy.

Důkaz. Vektor a = (α1, . . . , αn) je řešením soustavy A x = b právě tehdy, když platí (5.1). To znamená,
že sloupec b je lineární kombinací sloupců matice A s koeficienty α1, α2, . . . , αn. To platí právě tehdy,
když