Lineární algebra

det A det B = det A

0 det B0 = det(A0 · B0) = det(A · B).

Existence
inverzní ma-
tice

4.36. Poznámka. Na závěr kapitoly o determinantech předvedeme slíbený důkaz věty 3.50 o existenci
inverzní matice pro každou regulární matici. Můžeme to považovat za první praktické využití pojmu
determinant. Další využití najdeme v následující kapitole o soustavách lineárních rovnic a dále později
při počítání objemů jistých těles.

Větu 3.50 o existenci inverzní matice zde přepíšeme znovu.

4.37. Věta. Ke čtvercové matici A existuje inverzní matice právě tehdy, když A je regulární.

Důkaz. Nechť nejprve A je singulární, tj. podle věty 4.27 je det A = 0. Ukážeme, že pak inverzní matice
neexistuje. Kdyby existovala (označme ji A−1), pak musí A · A−1 = E a podle věty 4.35 je

1 = det E = det(A · A

−1) = det A det A−1 = 0 · det A−1 = 0,

49

Lineární algebra

4. Determinant

což je spor. Inverzní matice tedy k singulární matici neexistuje.

Nechť nyní A je regulární. Sestrojíme matici

A

−1 =

1

det A

B

T ,

kde B = (Di,j) je matice doplňků k matici A. Ukážeme, že takto sestrojená A

−1 je inverzní matice.

Musíme tedy ověřit A · A−1 = E a dále A−1 · A = E. Je-li B = (Di,j), pak samozřejme je B

T = (Dj,i).

Podle definice součinu matic 3.34 vypočítáme prvek ei,k matice A · A

−1:

ei,k =

n

X

j=1

ai,j

1

det A

Dk,j =

1

det A

ai,1Dk,1 +ai,2Dk,2 +· · ·+ai,nDk,n

 =

1

det A

det A = 1

pro i = k,

1

det A

· 0 = 0

pro i 6= k.

Zde jsme využili větu o rozvoji determinantu podle i-tého řádku, viz poznámku 4.33. Zjišťujeme, že
prvky ei,k jsou v souladu s definicí jednotkové matice 3.44. Rovnost A

−1 · A = E bychom dokazovali