Lineární algebra

tvaru (4.2) musejí být všechny prvky na diagonále nenulové, protože podle věty 3.17 je také hod B = n.
To znamená, že det B 6= 0 a tedy i det A 6= 0.

Je-li matice A singulární (hod A < n), pak po úpravě Gaussovou eliminační metodou na matici B

tvaru (4.2) bude existovat aspoň jeden řádek v matici B celý nulový. Nulový je tedy i diagonální prvek,
takže det B = 0. Podle předchozího nutně musí být det A = 0.

4.28. Věta. Nechť A je čtvercová matice. Pak det A = det AT .

Důkaz. Součinu a1,i

1 a2,i2 · · · an,in

ze vzorce (4.1) pro det A odpovídá permutace π = (i1, i2, . . . , in).

Uspořádáme činitele tohoto součinu podle velikosti druhého indexu a dostaneme aj

1 ,1 aj2 ,2 · · · ajn ,n , kde

pro permutaci π1 = (j1, j2, . . . , jn) platí π1 = π

−1. Právě takové součiny se objevují ve vzorci pro

det AT . Vidíme tedy, že oba vzorce det A i det AT obsahují sumu stejných součinů, pouze permutace
odpovídajících součinů je v prvním případě π a v druhém π−1. Tyto permutace mají podle věty 4.12
stejný počet inverzí, takže i stejné znaménko. Musí tedy být det A = det AT .

4.29. Poznámka. Z právě dokázané věty plyne, že vlastnosti vyjmenované ve větě 4.21 platí nejen pro
řádky matice, ale též pro sloupce. Při počítání determinantu podle metody popsané v poznámce 4.22
můžeme tedy svobodně přecházet od řádkových úprav ke sloupcovým a zpět, protože vlastnosti (V1),
(V3) a (V5) věty 4.21 platí nejen pro řádky, ale i pro sloupce (tzv. řádkově-sloupcová dualita).

Rozvoj deter-
minantu

4.30. Věta (o rozvoji determinantu podle r-tého řádku). Nechť A = (ar,s) je čtvercová matice
typu (n, n) a Ai,j jsou matice typu (n − 1, n − 1), které vzniknou z matice A vynecháním i-tého řádku
a j-tého sloupce. Pak pro každé r ∈ {1, . . . , n} platí