Lineární algebra

X

sgn π a1,j

1 a2,j2 · · · bi,ji ai+1,ji+1 · · · an,jn .

45

Lineární algebra

4. Determinant

(V5) dokážeme použitím právě dokázaných vlastností:

det

..

.

aj

..

.

ai + α aj

..

.

(V4)

=

det

..

.

aj

..

.

ai

..

.

+ det

..

.

aj

..

.

α aj

..

.

(V3)

=

det

..

.

aj

..

.

ai

..

.

+ α det

..

.

aj

..

.

aj

..

.

(V2)

=

det

..

.

aj

..

.

ai

..

.

.

Metoda počí-
tání determi-
nantu

4.22. Poznámka. Vlastnosti (V1), (V3) a (V5) nám ukazují, jak se změní determinant, změníme-
li matici pomocí Gaussovy eliminační metody. Prohození řádků změní znaménko, vynásobení řádku
nenulovým číslem α způsobí, že se determinant α-krát zvětší a konečně přičtení α-násobku jiného řádku
ke zvolenému řádku nezmění hodnotu determinantu. Jsme tedy schopni upravovat matice Gaussovou
eliminační metodou, a přitom si poznamenávat, jak se mění determinant. Tím můžeme převést matici
na tvar (4.2). O této matici víme, že má determinant roven součinu prvků na hlavní diagonále.

Uvědomme si, že tato metoda dává výraznou úsporu času a výpočetních prostředků při počítání

determinantů. Představme si, že počítáme determinant matice typu (n, n). Při Gaussově eliminační
metodě potřebujeme zhruba n operací na výrobu jednoho nulového prvku. Těch nul potřebujeme vytvořit
zhruba n2/2, takže k výpočtu determinantu nám stačí n3/2 operací. Pro matici typu (50, 50) to je zhruba
62 500 operací. Pokud bychom chtěli počítat determinant stejně velké matice přímo z definice, potřebovali
bychom na to 50 · 3 · 1064 operací (viz komentář v příkladu 4.4). Není v silách žádné výpočetní techniky
spočítat to v rozumném čase.

4.23. Příklad. Právě popsanou metodou spočítáme determinant matice

A =

1

2

4

−1

2

1

2

2

1

3

1

2

2

1

2

1

.

V literatuře se pro det A často používá značení |A|. Níže tedy zapisujeme prvky jednotlivých matic mezi
svislé čáry a tím dáváme na jevo, že počítáme determinant.